Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

1. Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân Là Gì?

1.1. Cấp Số Nhân

Trong toán THPT, cấp số nhân là một dãy số mà số thứ 2 của dãy đó là tích của số trước đó với một số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân. Định nghĩa cụ thể như sau:

• Un là số tại vị trí thứ n của cấp số nhân và có quan hệ un+1=un.q, trong đó n∈N.

  Bạn đang xem: Tổng Hợp Các Công Thức Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân & Bài Tập

• q là công bội và được tính theo công thức: $q=frac{u_{n+1}}{u_{n}}$

Để tính số tại vị trí bất kỳ trong cấp số nhân, ta sử dụng công thức sau:

un =u1. Qn-1

1.2. Cấp Số Cộng

Cấp số cộng là một dãy số mà số tiếp theo là tổng của số trước đó và một số không đổi gọi là công sai.

Dãy số cấp số cộng có thể là vô hạn hoặc hữu hạn. Ví dụ: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, …

Định nghĩa cấp số cộng như sau:

Un là số tại vị trí thứ n trong cấp số cộng và có quan hệ un + 1 = un + d.

Trong đó d là công sai của cấp số cộng = un + 1 – un.

Để tính số tại vị trí bất kỳ trong cấp số cộng, ta sử dụng công thức sau:

un = u1 + (n – 1)d

2. Tổng Hợp Các Công Thức Về Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

Các công thức về cấp số cộng và cấp số nhân rất dễ ghi nhớ và liên quan đến các giá trị đặc trưng của hai dạng dãy số này.

2.1. Công Thức Cấp Số Cộng

• Công thức tổng quát của cấp số cộng:

un = um + (n – m)d

Từ công thức trên, ta có số tại vị trí thứ 2 trở đi của cấp số cộng bằng trung bình cộng của hai số liền kề nó.

$u_{k}=frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2},forall k geq 2$

Ví dụ: Tìm số tại vị trí thứ 2 của cấp số cộng biết số tại vị trí thứ 7 là 100, và công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức, ta có số tại vị trí thứ 2 của cấp số cộng là:

• Chúng ta có hai công thức để tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng:

$S_{n}=sum_{k=1}^{n}u_{k}=frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ: Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng biết số tại vị trí thứ nhất là 3 và công sai là 2.

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

​​2.2. Công Thức Cấp Số Nhân

• Ta xét các cấp số nhân mà số tại vị trí thứ nhất và công bội khác 0. Điều đó có nghĩa tất cả các số hạng của cấp số nhân khác 0. Ta có công thức cấp số nhân:

un=um.qn-m

Xem thêm : Người đi làm nên học TOEIC hay IELTS – Lựa chọn nào phù hợp nhất?

Ví dụ: Biết số tại vị trí thứ 8 của cấp số nhân là 32 và công bội là 2. Tính số tại vị trí thứ 5 của cấp số nhân

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

Từ công thức trên, ta có các công thức sau:

Tổng n số hạng đầu cấp số nhân được tính theo công thức:

$S_{n}=sum{k=1}^{n}=u_{1}.frac{1-q^{n}}{1-q}$

Ví dụ: Cho cấp số nhân có số tại vị trí thứ nhất bằng 2. Tính tổng 11 số hạng đầu của cấp số nhân.

Giải: Áp dụng công thức, ta có:

>> Xem thêm: Cách tính tổng cấp số nhân vô hạn và bài tập

Đăng ký ngay để được giáo viên xây dựng lộ trình ôn thi THPT đạt điểm 9+ ngay từ bây giờ

3. Một Số Bài Tập Về Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân (Kèm Lời Giải Chi Tiết)

Bài 1: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết rằng tổng của chúng là 20 và tổng các bình phương của chúng là 120.

Giải:

Giả sử công sai là d = 2x, các số hạng lần lượt là a-3x, a-x, a+x, a+3x. Áp dụng điều kiện, ta có:

Kết luận bốn số hạng cần tìm lần lượt là 2, 4, 6, 8

Bài 2: Cho cấp số cộng:

Hãy tính số tại vị trí thứ 100 của cấp số cộng?

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

=> $u_{100}=u_{1}+99d= -295$

Bài 3: Cho cấp số cộng

Hãy tính công sai và công thức tổng quát của cấp số cộng?

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Công sai của cấp số cộng trên d=3, công thức tổng quát là un=u1+(n-1)d=3n-2

Xem thêm : TÍNH TỪ TRONG TIẾNG ANH (ADJECTIVE): CÁCH DÙNG, VỊ TRÍ VÀ CÁCH NHẬN BIẾT

Bài 4: Cho cấp số cộng

Hãy tính S = u1 +u4+u7+…+u2011?

Giải:

Các số hạng u1, u4,u7 ,…,u2011 tạo thành một cấp số cộng có 670 số hạng và công sai d’ = 3d. Do đó ta có:

Bài 5: Cho cấp số cộng hãy xác định công sai và công thức tổng quát:

Giải:

Gọi d là công sai của cấp số cộng, ta có:

Vậy ta có công sai của cấp số là d=3

Công thức tổng quát:

Bài 6: Cấp số nhân (un) có các số hạng khác 0 hãy tìm u1 biết rằng:

Giải:

Đáp án: u1=1, u1=8

Bài 7: Cho cấp số nhân sau:

Tìm năm số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Gọi q là công bội của cấp số nhân. Theo giới thiệu, ta có:

Năm số hạng đầu của cấp số nhân cần tìm là u1=2, u2=23, u3=29, u4=27, u5=281

Bài 8: Cho cấp số nhân sau:

Tính tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân?

Giải:

Bài 9: Cho cấp số nhân thỏa mãn

Tìm công bội và công thức tổng quát của cấp số nhân?

Giải:

Hy vọng các công thức về cấp số cộng và cấp số nhân giúp bạn ghi nhớ hiệu quả và tránh sai sót trong quá trình giải bài tập. Thêm vào đó, hãy đăng ký khóa học ôn thi THPT trên Vuihoc.vn để nhận được sự hướng dẫn từ các giáo viên chuyên nghiệp. Chúc bạn ôn thi hiệu quả!

>> Xem thêm:

Tổng hợp công thức Toán 12 ôn thi THPT Quốc gia

Ôn thi Toán tốt nghiệp THPT

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục