Lũy Thừa Của Lũy Thừa Là Gì? Định Nghĩa Và Công Thức Chuẩn

Trước hết, chúng ta hãy xác định mức độ khó của các bài toán về “Lũy Thừa của Lũy Thừa” như trong bảng dưới đây:

Để dễ dàng theo dõi bài viết và ôn tập sau này, hãy tải file tổng hợp lý thuyết về Lũy Thừa – Lũy Thừa của Lũy Thừa theo đường link dưới đây!

>>>Tải xuống file lý thuyết Lũy Thừa của Lũy Thừa đầy đủ và chi tiết<<<

1. Tổng quan về Lũy Thừa

1.1. Định nghĩa của Lũy Thừa

Để hiểu về khái niệm Lũy Thừa, chúng ta có thể đơn giản hiểu rằng, Lũy Thừa là một phép toán hai ngôi trong toán học được thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán Lũy Thừa là tích số của phép Nhân ngày nhiều thừa số a với nhau. Lũy Thừa có thể hiểu là tích số của một số với chính nó lặp lại nhiều lần.

Ký hiệu của Lũy Thừa là $a^b$, đọc là Lũy Thừa bậc b của a hoặc a mũ b, trong đó số a được gọi là cơ số, số b được gọi là số mũ.

Bên cạnh đó, chúng ta cần biết rằng phép toán ngược với Lũy Thừa là phép khai căn.

1.2. Phân loại của Lũy Thừa

Chương trình Toán 12 THPT đã học về Lũy Thừa nói chung và Lũy Thừa của Lũy Thừa nói riêng, từ đó chúng ta có thể biết rằng Lũy Thừa có 3 dạng: Lũy Thừa với số mũ nguyên, Lũy Thừa với số mũ hữu tỉ và Lũy Thừa với số mũ thực. Mỗi dạng có công thức tổng quát hoặc tính chất riêng biệt mà chúng ta cần lưu ý để không nhầm lẫn trong quá trình giải bài tập.

Dạng 1: Lũy Thừa với số mũ nguyên

Với n là số nguyên dương và a là một số thực tùy ý, Lũy Thừa bậc n của a được tính bằng tích của n thừa số a. Định nghĩa Lũy Thừa với số mũ nguyên cũng tương đương với định nghĩa chung về Lũy Thừa. Công thức tổng quát như sau:

$a^n=a.a.a.a…..a$ (n thừa số a)

Với $a^0$, $a^0=1$, $a^{-n}=frac{1}{a^n}$

Lưu ý:

• $0^n$ và $0^{-n}$ không có ý nghĩa
• Lũy Thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự như Lũy Thừa với số mũ nguyên dương.

Dạng 2: Lũy Thừa với số mũ hữu tỉ

Với số thực a dương và số hữu tỉ $r=m^n$, trong đó m ∈ Z, n ∈ N, n ≥ 2

Lũy Thừa của số a với số mũ r được xác định bởi: $a^r=a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^m}$

Đặc biệt: Khi m = 1: $a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}$

Ví dụ:

Dạng 3: Lũy Thừa với số mũ thực

Với a > 0, a ∈ R, là một số vô tỉ, khi đó $a^alpha =lim_{nrightarrow +infty }a(r^n)$ với r^n là dãy số hữu tỉ thoả mãn $lim_{nrightarrow +infty }r^n=alpha $

Tính chất của Lũy Thừa với số mũ thực:

Đăng ký ngay để nhận bí kíp nắm trọn kiến thức Toán 12 thi tốt nghiệp THPT

1.3. Tính chất và công thức cơ bản của Lũy Thừa

Các tính chất của Lũy Thừa góp phần không nhỏ trong quá trình so sánh Lũy Thừa trong các bài tập cụ thể. Hãy xem xét các tính chất của Lũy Thừa áp dụng để biến đổi và so sánh Lũy Thừa sau:

• Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

Tính chất về bất đẳng thức:

• So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:
  • Với $a>1$ thì $a^m>a^n Rightarrow m>n$
  • Với $0<a<1$ thì $a^m>a^n Rightarrow m<n$
• So sánh cùng số mũ:
  • Với số mũ dương $n>0: a>b>0 Rightarrow a^n>b^n$
  • Với số mũ âm $n<0: a>b>0 Rightarrow a^n<b^n$

Dưới đây là bảng công thức cơ bản giúp biến đổi các phép tính Lũy Thừa của Lũy Thừa:

Ngoài ra, còn có một số công thức khác trong các trường hợp đặc biệt, cụ thể như sau:

• Lũy Thừa của số e:

Số e là một hằng số quan trọng trong toán học, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số e được định nghĩa qua giới hạn sau:

Hàm $e$ mũ, được định nghĩa bởi $e=lim_{xrightarrow infty }(1+frac{1}{n})^n$ ở đây $x$ được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của Lũy Thừa $e^{x+y}=e^x.e^y$

Hàm $e$ mũ xác định với tất cả các giá trị số nguyên, hữu tỉ, thực và cả giá trị phức của $x$.

Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm $e$ mũ với $x$ là số nguyên dương k chính là $e^k$ như sau:

Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng $e^{x+y}$ thỏa mãn đẳng thức Lũy Thừa khi x và y là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.

• Hàm Lũy Thừa với số mũ thực:

Lũy Thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỉ.

Logarit tự nhiên $ln(x)$ là hàm nghịch đảo của hàm $e^x$. Theo đó $lnx$ là số b sao cho $x=e^b$

Xem thêm : TRỌN BỘ SO SÁNH BẰNG TRONG TIẾNG ANH – CẤU TRÚC, BÀI TẬP & ĐÁP ÁN

Nếu a là số thực dương, x là số thực bất kỳ, ta có $a=elna$ nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên, ta cần phải có:

$a^x=(e^{lna})^x=e^{x.lna}$

Điều này dẫn tới định nghĩa $a^x=e^{x.lna}$ với mọi số thực x và số thực dương a

2. Lũy Thừa của Lũy Thừa

2.1. Lũy Thừa của một Lũy Thừa là gì?

Để hiểu rõ Lũy Thừa của Lũy Thừa là gì, đơn giản nhất ta có thể suy ra từ định nghĩa của Lũy Thừa như sau:

Lũy Thừa của Lũy Thừa là biểu thức Lũy Thừa trong đó phần cơ số là một biểu thức Lũy Thừa khác. Ký hiệu của Lũy Thừa của Lũy Thừa là $(a^n)^m$

2.2. Công thức Lũy Thừa của Lũy Thừa

Theo định nghĩa trên, công thức Lũy Thừa của Lũy Thừa có dạng như sau:

$(a^m)^n=a^{m.n}$

2.3. Ứng dụng công thức Lũy Thừa của Lũy Thừa trong các bài toán Lũy Thừa

VD1:

Lời giải

Chọn A

Ta có

VD2.

Lời giải

3. Bài tập Lũy Thừa của Lũy Thừa

Để thành thạo các bài tập Lũy Thừa của Lũy Thừa, VUIHOC gửi tặng các em bộ tài liệu tổng hợp các dạng bài áp dụng công thức biến đổi Lũy Thừa của một Lũy Thừa thường gặp nhất. Hãy tải theo đường link dưới đây nhé!

>>>Tải xuống file bài tập Lũy Thừa của Lũy Thừa có giải chi tiết<<<

Trên đây là toàn bộ kiến thức cần ghi nhớ về “Lũy Thừa của Lũy Thừa”. Chúng ta hy vọng rằng bài viết trên VUIHOC sẽ giúp các em nắm chắc kiến thức về chuyên đề này trong quá trình “ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán”.

>>> Bài đọc thêm:

Công thức về Lũy Thừa

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục