Cung và góc lượng giác: Lý thuyết và các dạng toán lớp 10

1. Khái niệm chung về cung và góc lượng giác

1.1. Khái niệm về cung lượng giác

Cho một đường tròn có bán kính R và tâm O, chọn hai điểm phân biệt A và B trên đường tròn (O).

Từ đó ta nói: $widehat{AmB}$ là góc nhỏ, $widehat{AnB}$ là góc lớn. Viết tắt là $widehat{AB}$ để chỉ góc nhỏ. AB là dây cung chắn góc $widehat{AB}$.

1.2. Khái niệm về góc lượng giác

Khi có hai góc có cùng tia đầu và tia cuối, chúng có các số đo khác nhau một bội nguyên của $360^{circ}$ (hoặc $2pi$).

1.3. Đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn tâm O, bán kính R trong mặt phẳng toạ độ. Chọn điểm A làm gốc và điểm M(x;y) trên đường tròn lượng giác, (OA;OM) = α biểu diễn cung lượng giác có số đo α.

• Trục Ox là trục giá trị của cos.

• Trục Oy là trục giá trị của sin.

• Trục At có gốc A và cùng hướng với trục Oy là trục giá trị của tan.

• Trục Bs có gốc B và cùng hướng với trục Ox là trục giá trị của cot.

Giá trị lượng giác của sin, cosin, tang và cotang:

Dấu của các giá trị lượng giác:

2. Đơn vị đo cung và góc lượng giác

2.1. Đơn vị Radian

Khi cung có độ dài bằng bán kính đường tròn chứa nó và có số đo là

1 radian, kí hiệu là 1$rad$ hoặc có thể không kí hiệu là 1.

2.2. Đơn vị độ

Độ là số đo của góc $= frac{1}{180}$ góc bẹt.

Số đo của góc ở tâm chắn cung bằng số đo của một cung tròn.

Vì vậy số đo của cung bằng $frac{1}{180}$ nửa đường tròn là một độ.

Kí hiệu 1ođọc là một độ

$1^{circ} = 60′;1′ = 60”$

2.3. Chuyển đổi độ sang Radian

$180^{circ} = pi rad Rightarrow 1^{circ} = frac{pi}{180}rad, 1rad = (frac{180}{pi})^{circ}$

2.4. Độ dài của một cung tròn

Một cung trên đường tròn bán kính R có số đo rad thì độ dài l=rad

Trên một đường tròn có bán kính R, tâm O, độ dài l của cung n được tính theo công thức: $l=frac{pi R n}{180}$

Tham khảo ngay bộ tài liệu tổng ôn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập độc quyền của VUIHOC ngay!

3. Bảng giá trị lượng giác

3.1. Cách tìm giá trị lượng giác của cung

Cho số thực $alpha $. Gọi M là điểm ngọn của cung có số đo $alpha $ trên đường tròn lượng giác. Xét điểm M có tọa độ là $M(x;y)$. Ta có các định nghĩa sau:

$x = cosalpha ; y=sinalpha ; yx=tanalpha; xy=cotalpha$

Từ đó ta có công thức:

$tanalpha = frac{sinalpha }{cosalpha} ; cotalpha = frac{cosalpha }{sinalpha}$

Các dạng góc đặc biệt:

• $sina=1 Leftrightarrow alpha = frac{pi}{alpha} + k2pi$
• $sina= -1 Leftrightarrow alpha = frac{-pi}{2} + k2pi$
• $sina=0 Leftrightarrow alpha = kpi$
• $cosa=1 Leftrightarrow alpha = k2pi$
• $cosa= -1 Leftrightarrow alpha = k2pi$
• $cosa=0 Leftrightarrow alpha = kpi$

3.2. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

3.3. Tìm giá trị lượng giác của các góc liên quan

Công thức nghiệm cơ bản:

3.4. Công thức lượng giác

Xin vui lòng xem chi tiết bài viết hướng dẫn: Tổng hợp công thức lượng giác

4 .Một số bài tập về các dạng toán cung và góc lượng giác lớp 10

4.1. Cách biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn?

Phương pháp giải:

Ta thường sử dụng các kết quả sau để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác:

• Góc $alpha$ và góc $alpha+k2pi$, $kin Z$ có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
• Số điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng $alpha + frac{k2pi}{m}$ (với $k$ là số nguyên và $m$ là số nguyên dương) là $m$. Do đó để biểu diễn các góc lượng giác đó, ta chỉ cần lần lượt cho từ $k$ đến $(m-1)$ rồi biểu diễn các góc đó.

Ví dụ: Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

1. $frac{pi}{4}$
2. $frac{-11pi}{2}$
3. $120^{circ}$
4. $-765^{circ}$

Xem thêm : Thuyết minh về biển Nha Trang tỉnh Khánh Hòa

Cách giải:

1. Ta có: $frac{frac{pi}{4}}{2pi} = frac{1}{8}$. Chia đường tròn ra làm tám phần bằng nhau.

Do đó, điểm $M_{1}$ biểu diễn góc có số đo $frac{pi}{4}$

2. Ta có $frac{-13pi}{2} = -2pi+(-3).2pi$, do đó điểm biểu diễn góc $frac{-11pi}{2}$ trùng với góc $frac{-pi}{2}$ và là điểm $B’$.

3. Ta có $frac{120}{360} = frac{1}{3}$. Chia đường tròn làm ba phần bằng nhau, ta được điểm $M_{2}$ biểu diễn góc có số đo $120^{circ}$

4. Ta có $-765^{circ} = -45^{circ} + (-2). 360^{circ}$, do đó điểm biểu diễn góc $-765^{circ}$ trùng với góc $-45^{circ}$. $frac{45}{360} = frac{1}{8}$. Chia đường tròn thành tám phần bằng nhau (chú ý góc âm).

Do đó, điểm $M_{3}$ (điểm chính giữa cung nhỏ $widehat{AB}$) biểu diễn góc có số đo $-765^{circ}$.

4.2. Xác định giá trị của một biểu thức có chứa góc đặc biệt

Bài toán này nhằm mục đích xác định giá trị của một biểu thức có chứa góc đặc biệt và xác định dấu của giá trị lượng giác của góc lượng giác.

Phương pháp giải:

• Sử dụng các định nghĩa lượng giác, các hằng đẳng thức ý nghĩa và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi.
• Khi chứng minh một đẳng thức, ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tương đương hoặc biến đổi hai vế cùng bằng một đại lượng khác.
• Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào góc x.
• Hoặc đơn giản biểu thức, ta nỗ lực để xuất hiện các nhân tử chung trong tử và mẫu để rút gọn hoặc xuất hiện các hạng trong trái dấu để hợp nhất.

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có ý nghĩa):

1. $cos^{4}x + 2sin^{2} x = 1 + sin^{4}x$​​​​
2. $sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + sqrt{cos^{4} x+ 4sin^{2}x} = 3tan(x + frac{pi}{3}) tan(frac{pi}{6} – x)$

Xem thêm : Thuyết minh về biển Nha Trang tỉnh Khánh Hòa

Cách giải:

1. Đẳng thức tương đương với $cos^{4}x = 1 – 2sin^{2}x + (sin^{2}x)^{2} Leftrightarrow cos^{4}x = (1 – sin^{2}x)^{2}$ (*)

Do $sin^{2}x + cos^{2}x = 1 Rightarrow cos^{2}x = 1 – sin^{2}x$

Do đó (*) $Leftrightarrow cos^{4}x= (cos^{2}x)^{2}$ (đúng)

2. $VT = sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + sqrt{cos^{4}x + 4sin^{2}x}$

$= sqrt{(sin^{2})^{2} – 4sin^{2}x + 4} + sqrt{(cos^{2})^{2} – 4cos^{2}x + 4} $

$= sqrt{(sin^{2}x – 2)^{2}} + sqrt{(cos^{2}x – 2)^{2}} = (2 – sin^{2}x) + (2 – cos^{2}x)$

$= 4 – (sin^{2}x + cos^{2}x)$

Trên thực tế, $(x + frac{pi}{3} + frac{pi}{6} – x = frac{pi}{2} Rightarrow tan(frac{pi}{6} – x) = cot(x + frac{pi}{3})$ nên:

$VP = 3 tan(x + frac{pi}{3}) cot(x + frac{pi}{3}) = 3 Rightarrow VT=VP$

4.3. Chứng minh biểu thức không phụ thuộc góc X, đơn giản biểu thức

Đây là dạng chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh rằng biểu thức không phụ thuộc vào góc X và đơn giản hóa biểu thức.

Phương pháp giải:

• Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, các công thức đáng nhớ và sử dụng tính chất của giá trị lượng giác để biến đổi.
• Khi chứng minh một đẳng thức, ta có thể biến đổi từ vế này sang vế kia, biến đổi tương đương, hoặc biến đổi hai vế cùng bằng một lượng khác.
• Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào góc X.
• Hoặc đơn giản biểu thức, cố gắng tìm nhân tử chung trong tử và mẫu để rút gọn hoặc tìm các tử trái dấu để hợp nhất.

Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều đúng):

1. $cos^{4}x + 2sin^{2} x = 1 + sin^{4}x$
2. $sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + sqrt{cos^{4} x+ 4sin^{2}x} = 3tan(x + frac{pi}{3}) tan(frac{pi}{6} – x)$

Xem thêm : Thuyết minh về biển Nha Trang tỉnh Khánh Hòa

Cách giải:

1. Đẳng thức tương đương với $cos^{4}x = 1 – 2sin^{2}x + (sin^{2}x)^{2} Leftrightarrow cos^{4}x = (1 – sin^{2}x)^{2}$ (*)

Do $sin^{2}x + cos^{2}x = 1 Rightarrow cos^{2}x = 1 – sin^{2}x$

Do đó (*) $Leftrightarrow cos^{4}x= (cos^{2}x)^{2}$ (đúng)

2. $VT = sqrt{sin^{4}x + 4cos^{2}x} + sqrt{cos^{4}x + 4sin^{2}x}$

$= sqrt{(sin^{2})^{2} – 4sin^{2}x + 4} + sqrt{(cos^{2})^{2} – 4cos^{2}x + 4} $

$= sqrt{(sin^{2}x – 2)^{2}} + sqrt{(cos^{2}x – 2)^{2}} = (2 – sin^{2}x) + (2 – cos^{2}x)$

$= 4 – (sin^{2}x + cos^{2}x)$

Trên thực tế, $(x + frac{pi}{3} + frac{pi}{6} – x = frac{pi}{2} Rightarrow tan(frac{pi}{6} – x) = cot(x + frac{pi}{3})$ nên:

$VP = 3 tan(x + frac{pi}{3}) cot(x + frac{pi}{3}) = 3 Rightarrow VT=VP$

Đăng ký ngay để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi sớm hiệu quả, phù hợp với bản thân

Hy vọng rằng qua bài viết trên, các bạn học sinh đã được bổ sung nhiều kiến thức bổ ích về cung và góc lượng giác. Hãy truy cập ngay nền tảng Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản và ôn tập nhiều hơn về các dạng bài liên quan đến lượng giác nhé!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục