Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng (a) và mặt phẳng (P). Căn cứ vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng ta có ba trường hợp sau:

a. Đường thẳng (a) và mặt phẳng (P) không có điểm chung, tức là:

Bạn đang xem: Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

(a ∩ P = ∅, ⇔ a//P.)

b. Đường thẳng (a) và mặt phẳng (P) chỉ có một điểm chung, tức là:

(a ∩ P = {A}, ⇔ a cắt P tại (A) .)

c. Đường thẳng (a) và mặt phẳng (P) có hai điểm chung, tức là:

(a ∩ P = {A, B}, ⇔ a ⊂ P .)

Định lí 1: Nếu đường thẳng (a) không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường thẳng nào đó trong (P) thì (a) song song với (P).

Tức là, (a ∉ P) thì nếu:

(a//d ⊂ P ⇒ a//P.)

Định lí 2: Nếu đường thẳng (a) song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa (a) mà cắt (P) thì sẽ cắt theo một giao tuyến song song với (a).

Tức là, nếu ({a ⊥ (P) a ⊂ (Q) ,[ (Q) ∩ (P) = d ] ⇒ a ⊥ d.)

Hệ quả 1: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song song với một đường thẳng nào đó trong mặt phẳng.

Hệ quả 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song với đường thẳng đó.

Tức là: ({ (P) ∩ (Q) = d, (P) // a, (Q) // a ⇒ d // a.)

Hệ quả 3: Nếu (a) và (b) là hai đường thẳng chéo nhau thì qua (a) có một và chỉ một mặt phẳng song song với (b).

4. Bài tập Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp:

Để chứng minh đường thẳng (d) songsong với mặt phẳng (alpha) ta chứng minh (d) song song với một đường thẳng (d’) nằm trong (alpha).

Ví dụ:

Cho hai hình bình hành (ABCD) và (ABEF) không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là (O) và (O’).

a) Chứng minh (OO’) song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi (M,N) lần lượt là hai điểm trên các cạnh (AE,BD) sao cho (AM = frac{1}{3}AE,BN = frac{1}{3}BD). Chứng minh (MN) song song với (CDEF).

Hướng dẫn:

Xem thêm : Lý thuyết Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

a) Ta có (OO’) là đường trung bình của tam giác (BDF) ứng với cạnh (DF) nên (OO’// DF), (DF ⊂ (ADF))

( ⇒ OO’// (ADF)).

Tương tự, (OO’) là đường trung bình của tam giác (ACE) ứng với cạnh (CE) nên (OO’// CE), (CE ⊂ (CBE) ⇒ OO’// (BCE)).

b) Trong (ABCD), gọi (I = AN ∩ CD)

Do (AB// CD) nên (frac{{AN}}{{AI}} = frac{{BN}}{{BD}} ⇒ frac{{AN}}{{AI}} = frac{1}{3}).

Lại có (frac{{AM}}{{AE}} = frac{1}{3} ⇒ frac{{AN}}{{AI}} = frac{{AM}}{{AE}})( ⇒ MN// IE).

Mà (I ∈ CD ⇒ IE ⊂ (CDEF) )

(⇒ MN// (CDEF)).

5. Bài tập Dựng thiết diện song song với đường thẳng

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng (alpha) đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc (alpha) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: ({ (alpha) // dd ⊂ (beta) M ∈ (alpha) ∩ (beta) ⇒ (alpha) ∩ (beta) = d//d,M ∈ d})

(⇒ (alpha) ∩ (beta) = d//d,M ∈ d’)

Ví dụ:

Cho hình chóp (S.ABCD), (M) và (N) là hai điểm thuộc cạnh (AB) và (CD), (alpha) là mặt phẳng qua (MN) và song song với (SA).

a) Xác định thiết diện của hình chóp (S.ABCD) khi cắt bởi (alpha).

b) Tìm điều kiện của (MN) để thiết diện là một hình thang.

Hướng dẫn:

a) Ta có ({M ∈ (alpha) ∩ (SAB) , (alpha) // SA ⊂ (SAB)} ⇔ (SAB) ∩ (alpha) = MQ// SA,Q ∈ SB).

Trong (ABCD) gọi (I = AC ∩ MN)

Do (AB// CD) nên (frac{{AN}}{{AI}} = frac{{BN}}{{BD}} ⇒ frac{{AN}}{{AI}} = frac{1}{3}).

Lại có (frac{{AM}}{{AE}} = frac{1}{3} ⇒ frac{{AN}}{{AI}} = frac{{AM}}{{AE}})( ⇒ MN// IE).

Mà (I ∈ CD ⇒ IE ⊂ (CDEF) )

(⇒ MN// (CDEF)).

(begin{array}{l} ({N ∈ (alpha) ∩ (SAB)}\ ({alpha) // SA ⊂ (SAB)})end{array} ⇒ ({(SAB) ∩ (alpha) = PQ}),(alpha) // SA).end{array})

Từ đó ta có ((alpha) ∩ (SBC) = PQ,(alpha) ∩ (SAD) = NP).

Thiết diện là tứ giác (MNPQ).

b) Tứ giác (MNPQ) là một hình thang khi (MN// PQ) hoặc (MQ// NP).

Trường hợp 1:

Nếu (MQ// NP) thì ta có ({MQ// NP)((SBC) ∩ (SAD)) SC ⊂ (SBC)) (vô lí).

Xem thêm : Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài

Trường hợp 2:

Nếu (MN// PQ)thì ta có các mặt phẳng ((ABCD),(alpha),(SBC)) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là (MN,BC,PQ) nên (MN// BC).

Đảo lại nếu (MN// BC) thì ((MN) ⊂ (alpha),(BC) ⊂ (SBC),(PQ) = (alpha) ∩ (SBC))

(⇒ MN// PQ) nên tứ giác (MNPQ) là hình thang.

Vậy để tứ giác (MNPQ) là hình thang thì điều kiện là (MN// BC).

6. Luyện tập

Bài 1:

Cho hình chóp (S.ABCD). Gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (AB) và (BC); (G_1,G_2) tương ứng là trọng tâm các tam giác (SAB,SBC).

a) Chứng minh (AC// (SMN)).

b) (G_1G_2// (SAC)).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (B(G_1G_2)).

Hướng dẫn:

a) Ta có ({M ∈ (SMN) , (SMN) ⊂ (SAC)}) ⇒ (SMN// (SAB)).

Tương tự, ({N ∈ (SAB) , (SMN) ⊂ (SBC)}) ⇒ (SMN// (SBC)).

(⇒ SMN// AC).

b) ((G_1,G_2)) lần lượt là trọng tâm các tam giác (SAB) và (SBC) nên

(frac{{SG_1}}{{SM}} = frac{{SG_2}}{{SN}} = frac{2}{3} ⇒ G_1G_2// MN) mà (MN// AC ⇒ G_1G_2// AC).

Vậy (G_1G_2// (SAC)).

c) Ta có (B ∈ (ABC) ∩ (B(G_1G_2)),NM ⊂ (ABC),(G_1G_2) ⊂ (BG_1G_2),MN// G_1G_2)

(⇒ (ABC) ∩ (B(G_1G_2)) = PQ),(ABC) // MN,⇒ PQ // MN.)

(⇒ (B ∈ PQ).

Bài 2:

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là một tứ giác lồi. Gọi (O) là giao điểm của hai đường chéo (AC) và (BD). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua (O), song song với (AB) và (SC).

Hướng dẫn:

Gọi (P) là mặt phẳng qua (O) và song song với (AB) và (SC)

Ta có (O ∈ (P) ∩ (SAC),SC ⊂ (SAC) ⇒ SC// (P))

(⇒ (SAC) ∩ (P) = OM// SC,O ∈ SA).

Tương tự

(({N ∈ (SAB) ∩ (P),AB ⊂ (SAB),AB// (P),) ⇒ (SAB) ∩ (P) = MN// AB,N ∈ SB.),

(begin{array}{l} (B ∈ (ABC) ∩ (P) MN ⊂ (ABC) MN// PQ PN ⊂ (ABC) PN// AB MN// PQ)end{array})

Trong (ABCD)gọi (Q = PO ∩ AD) thì thiết diện là tứ giác (MNPQ).

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục