Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Có Lời Giải

1. Lý thuyết giới hạn của dãy số

1.1. Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa: Nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý, tất cả các số hạng của dãy số từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó, thì dãy số (un) được gọi là có giới hạn 0.

Tính chất:

Bạn đang xem: Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Có Lời Giải

$lim frac{1}{n}=0; limfrac{1}{n^{alpha}}=0(alpha>0); lim q^{n}=0(|q|<1)$

Định lý:

Nếu $|u_{n}|leq |v_{n}|$ và $lim(v_{n})=0$, thì ta có $lim u_{n}=0$

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Dãy số có giới hạn hữu hạn là dãy số tạo thành từ tổng của các số hạng của nó, sao cho giới hạn của dãy số khi n tiến tới vô cùng.

Tính chất:

Bạn đang xem: Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Có Lời Giải

• Nếu $u_{n}=c$, thì giới hạn của nó là c;

• $lim u_{n}=L Leftrightarrow |u_{n}-L|$ trên trục số thực từ điểm $u_{n}$ đến L trở nên nhỏ đến mức nào cũng được miễn là n đủ lớn.

Nói một cách hình ảnh, khi N tăng lên, các điểm $u_{n}$ “chụm lại” về một điểm.

• Không phải dãy số nào cũng có giới hạn hữu hạn.

Định lý:

• Với $lim(u_{n})=L$, ta có các định lý sau:

$lim|u_{n}|=|L|$ và $limsqrt[3]{u_{n}}=sqrt[3]{L}$.

Nếu $u_{n}geq 0$ với $forall n$, thì $Lgeq 0$ và $limsqrt{u_{n}}=sqrt{L}$

• Nếu $lim u_{n}=L$, $lim v_{n}=M$ và c là một hằng số, ta có thể suy ra:

$lim(u_{n}+v_{n})=L+M$

$lim(u_{n}-v_{n})=L-M$

$lim(u_{n}v_{n})=LM$

$lim(cu_{n})=cL$

$limfrac{u_{n}}{v_{n}}=frac{L}{M}$ (nếu $Mneq 0$)

1.3. Dãy số có giới hạn vô cực

1.3.1. Dãy số có giới hạn $+infty$

Định nghĩa: Nếu với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, tất cả các số hạng của dãy số từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó, thì ta gọi đó là dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $+infty$

Hay ta có thể hiểu, $lim u_{n}=+infty$ trong trường hợp $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, từ số hạng nào đó trở đi

Tính chất:

Bạn đang xem: Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Có Lời Giải

$limsqrt{u_{n}}=+infty$

$limsqrt[3]{u_{n}}=+infty$

$lim,n^{k}=+infty$ với một số nguyên dương k cho trước

Trường hợp đặc biệt: $lim , q^{n}=+infty$

$lim , q^{n}=+infty$ nếu q > 1

1.3.2. Dãy số có giới hạn $-infty$

Định nghĩa: Nếu với mỗi số âm tuỳ ý cho trước, tất cả các số hạng của dãy số từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó, thì ta nói đó là dãy số có giới hạn $-infty$

Ký hiệu: $lim , u_{n}=-infty$

Hay ta có thể hiểu, $lim , u_{n}=-infty$ nếu $u_{n}$ có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý.

Tính chất:

Bạn đang xem: Giới Hạn Của Dãy Số Lớp 11: Lý Thuyết, Các Dạng Toán Và Bài Tập Có Lời Giải

$lim, u_{n}=-infty Leftrightarrow lim(-u_{n})=+infty$

Nếu $lim|u_{n}|=+infty$ thì $u_{n}$ trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Do đó $left|frac{1}{u_{n}}right|=frac{1}{left|u_{n}right|}$ trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu $lim u_{n}=+$ thì $lim frac{1}{u_{n}}=0$

• Định lý: Nếu $lim|u_{n}|=+infty$ thì $limfrac{1}{u_{n}}=0$

2. Các dạng toán về giới hạn của dãy số và ví dụ

2.1. Dạng 1: Tính giới hạn dãy số được cho bởi công thức.

Ví dụ 1: Tìm $lim(n^{3}-2n+1)$?

Lời giải:

Xem thêm : Top 12 Bài văn thuyết minh về kính đeo mắt hay nhất

Ta có: $n^{3}-2n+1=n^{3}left(1-frac{2}{n^{2}}+frac{1}{n^{3}}right)$

Vì $lim , n^{3}=+infty$ và $limleft(1-frac{2}{n^{2}}+frac{1}{n^{3}}right)=1>0$ nên theo quy tắc 2, $lim(n^{3}-2n+1)=+infty$

Ví dụ 2: Tìm $limsqrt[3]{frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}$

Lời giải:

$limsqrt[3]{frac{8n^{2}-3n}{n^{2}}}=limsqrt[3]{8-frac{3}{n}}=sqrt[3]{8}=2$

Ví dụ 3:

a. Tìm $A=limfrac{2n^{2}+3n+1}{3n^{2}-n+2}$

b. Tìm $B=frac{n^{3}-3n^{2}+2}{n^{4}+4n^{3}+1}$

Lời giải:

2.2. Dạng 2: Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Ví dụ 1: Cho dãy số $(u_{n})$ có $u_{1}=1, u_{n+1}=frac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$ với mọi n ≥ 1. Biết dãy số $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn, tính $lim, u_{n}$

Lời giải:

Đặt $lim, u_{n}=L Rightarrow L=limfrac{2(2u_{n}+1)}{u_{n}+3}$

$Rightarrow L^{2}-L-2=0 Rightarrow L=2$ hoặc L = -1( loại)

Vậy $lim, u_{n}=2$

Ví dụ 2: Cho $(u_{n})$ có $u_{1}=1, u_{n+1}=frac{1}{2}(u_{n}+frac{2}{u_{n}})$ với $forall ngeq 1$. Tìm $lim , u_{n}$?

Lời giải:

Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh được $u_{n}>0 forall n$

Tuy đề bài không cung cấp dữ liệu là dãy số $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn hay không, nhưng nhìn vào đáp án đề bài cho đều là các giới hạn hữu hạn. Nhớ lại, ta có thể khẳng định được dãy số $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn.

Đặt $lim, u_{n}=Lgeq 0$

$lim, u_{n+1}=limfrac{1}{2}(u_{n}+frac{2}{u_{n}})$

Hay $L=frac{1}{2}(L+frac{2}{L})Rightarrow L=frac{2}{L}Rightarrow L^{2}=2Rightarrow L=sqrt{2}$

Vậy $lim, u_{n}=sqrt{2}$

Ví dụ 3: Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=2u_{n}+frac{1}{2}$ với $forall ngeq 1$. Tìm $lim , u_{n}$?

Lời giải:

$v_{n}=u_{n}+frac{1}{2}$. Ta có: $v_{n+1}=u_{n+1}+frac{1}{2}+frac{1}{2}=2u_{n}+frac{1}{2}+frac{1}{2}=2(u_{n}+frac{1}{2})=2v_{n}$

$Rightarrow (v_{n})$ là cấp số nhân có $v_{1}=frac{3}{2}$ và q = 2. Vậy $v_{n}=frac{3}{2}.3^{n-1}=3.2^{n-2}$

Do đó $lim, v_{n}=lim(3.2^{n-2})=+infty$

2.3. Dạng 3: Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức

Ví dụ 1: Tính $limsqrt{n^{2}+2n}-n$

Lời giải:

$lim(sqrt{n^{2}+2n}-n)=limfrac{(sqrt{n^{2}+2}n)+(sqrt{n^{2}+2n}-n)}{(sqrt{n^{2}+2n}+n)}=limfrac{n^{2}+2n-n^{2}}{sqrt{n^{2}+2n}+n}$

$=limfrac{2n}{sqrt{n^{2}+2n}+n}=limfrac{2}{sqrt{1+frac{2}{n}}+1}=frac{2}{1+1}=1$

Ví dụ 2: Tính giới hạn của $I=lim(sqrt{n^{2}-2n+3}-n)$

Lời giải:

$I=limsqrt{n^{2}-2n+3}-n$ $=limfrac{(sqrt{n^{2}-2n+3}-n)(sqrt{n^{2}-2n+3}-n)}{sqrt{n^{2}-2n+3}-n}$ $=limfrac{(n^{2}-2n+3)-n^{2}}{sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$ $=limfrac{-2n+3}{sqrt{n^{2}-2n+3}+n}$ $=limfrac{-2+frac{3}{n}}{sqrt{1-frac{2}{n}+frac{3}{n^{2}}+1}}+1$ $=frac{-2}{sqrt{1}+1}=-1$

Ví dụ 3: Tìm $lim(n-sqrt[3]{n^{3}+3n^{2}+1}$

Lời giải:

2.4 Dạng 4: Tính giới hạn của dãy số hữu tỉ

Xem thêm : Modun số phức và các tính chất liên quan

Ví dụ 1: Cho a = 2.151515…, số a còn được biểu diễn dưới dạng $a=frac{m}{n}$, (m,n là các số nguyên dương). m + n =?

Lời giải:

Ta có: $a=2,151515…=2+frac{15}{100}+frac{15}{100^{2}}+frac{15}{100^{3}}+…$

Vì $frac{15}{100}+frac{15}{100^{2}}+frac{15}{100^{3}}+…$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=frac{15}{100},q=frac{1}{100}$

$Rightarrow a=2+frac{frac{15}{100}}{1-frac{1}{100}}=frac{71}{33}$

Vậy $m=71, n=33 Rightarrow m+n=104$

Ví dụ 2: Bài cho số thập phân vô hạn tuần hoàn có dạng 0,32111… Cũng được viết dưới dạng phân số tối giản là $frac{a}{b}$ (a,b là các số nguyên dương). a – b =?

Lời giải:

Ta có:

$0,3211…=frac{32}{100}+frac{1}{10^{3}}+frac{1}{10^{4}}+frac{1}{10^{5}}+…=frac{32}{100}+frac{frac{1}{10^{3}}}{1-frac{1}{10}}=frac{289}{900}$ Vậy a = 289, b = 900 Do đó, a – b = -611

Ví dụ 3: Tính $limleft[frac{1}{1.3}+frac{1}{3.5}+…+frac{1}{(2n-1)(2n+1)}right]$

$frac{1}{1.3}+frac{1}{3.5}+…+frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=frac{1}{2}left(1-frac{1}{3}+frac{1}{3}-frac{1}{5}+….+frac{1}{2n-1}-frac{1}{2n+1}right)=frac{1}{2}left(1-frac{1}{2n+1}right)$

Vậy $limleft[frac{1}{1.3}+frac{1}{3.5}+…+frac{1}{(2n-1)(2n+1)}right]=limfrac{1}{2}left(1-frac{1}{2n+1}right)=frac{1}{2}$

2.5 Dạng 5: Tính giới hạn của dãy số chứa lũy thừa – mũ

Ví dụ 1: $limfrac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=?$

Lời giải:

$limfrac{4^{n+1}+6^{n+2}}{5^{n}+8^{n}}=limfrac{4left(frac{4}{8}right)^{n}+36left(frac{6}{8}right)^{n}}{(1-frac{1}{8})^{n}+1}=0$

Ví dụ 2: $limfrac{2^{n}-3^{n}}{2^{n}+1}=?$

Lời giải:

Ví dụ 3: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=?$

Lời giải: $lim(3.2^{n}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6left(frac{2}{3}right)^{n}+7)=-infty$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm đạt 9+

3. Một số bài tập về giới hạn của dãy số từ cơ bản đến nâng cao (Có lời giải)

Ví dụ 1: Xác định các giới hạn của dãy số sau:

a. $limfrac{6n-1}{3n+2}$

b. $limfrac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}$

Lời giải:

a. $limfrac{6n-1}{3n+2}=limfrac{n(6-frac{1}{n})}{n(3+frac{2}{n})}=limfrac{6-frac{1}{n}}{3+frac{2}{n}}=2$

b. $limfrac{3n^{2}+n-5}{2n^{2}+1}=limfrac{frac{3}{n^{2}}+1-frac{5}{n^{2}}}{frac{2}{n^{2}}+1}=1$

Ví dụ 2: $lim(5n – 2n)$

Lời giải:

Ta có: $5^{n}-2^{n}=5^{n}(1-(frac{2}{5})^{n})$

Vì $lim5^{n}=+infty$ và $lim(1-(frac{2}{5})^{n})=1>0$ nên theo quy tắc 2, $lim(5^{n}-2^{n})=+infty$

Ví dụ 3: Tìm $lim(3.2n+1 – 5.3n + 7n) =?$

Lời giải:

$lim(3.2^{n+1}-5.3^{n}+7n)=3^{n}(-5+6(frac{2}{3})^{n}+7)=-infty$

Bài viết trên đã giới thiệu cho các bạn phần lý thuyết cơ bản và các dạng bài về giới hạn của dãy số. Đây là một phần kiến thức khó và quan trọng trong chương trình toán 11 nên để đạt được kết quả tốt nhất, các bạn cần phải nắm chắc lý thuyết và rèn luyện thêm qua các dạng bài tập. Các bạn học sinh có thể truy cập vào nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện tập ngay hôm nay nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

• Cấp số nhân
• Cấp số cộng

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục