Công thức tính góc giữa 2 vectơ? Hướng dẫn tính góc giữa 2 vectơ đơn giản và dễ hiểu

Xã hội hóa kiến thức Toán học quan trọng

Việc tính góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng và không gian là một phần kiến thức Toán học vô cùng quan trọng trong cuộc sống. Để giúp học sinh và sinh viên có thêm kiến thức và kỹ năng trong việc giải quyết bài toán này, Cao đẳng nghề Việt Mỹ chia sẻ công thức tính góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng và không gian cùng với nhiều dạng bài tập phổ biến.

Góc giữa hai vectơ trong không gian

Góc giữa hai vectơ trong không gian được xác định tương tự như góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai vectơ đó không xác định (đôi khi một số tài liệu xem góc giữa hai vectơ đó bằng 0). Trong trường hợp cả hai vectơ đều khác vectơ không, ta đưa chúng về cùng đỉnh.

Bạn đang xem: Công thức tính góc giữa 2 vectơ? Hướng dẫn tính góc giữa 2 vectơ đơn giản và dễ hiểu

Từ định nghĩa trên, ta có một số tính chất của góc giữa hai vectơ. Ví dụ, góc giữa hai vectơ bằng 0 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó cùng hướng, góc giữa hai vectơ bằng 180 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó ngược hướng và góc giữa hai vectơ bằng 90 độ khi và chỉ khi hai vectơ đó vuông góc.

Công thức tính góc giữa hai vectơ

Định nghĩa:

Góc giữa hai vectơ là góc nhỏ nhất giữa hai đường thẳng được tạo bởi hai vectơ đó khi chúng có cùng gốc.

Công thức:

Để tính góc giữa hai vectơ a và b, ta sử dụng công thức sau: cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) trong đó: · là phép nhân vectơ, |a| là độ dài vectơ a, |b| là độ dài vectơ b, θ là góc giữa hai vectơ a và b.

Cách tính góc giữa hai vectơ một cách đơn giản và dễ hiểu

Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b bằng cách lấy tích các thành phần của chúng và cộng lại: a·b = axbx + ayby + azbz. Bước 2: Tính độ dài của vectơ a và b: |a| = √(ax^2 + ay^2 + az^2) và |b| = √(bx^2 + by^2 + bz^2). Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa hai vectơ a và b. Bước 4: Sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)) để tính góc θ giữa hai vectơ a và b.

Tóm lại, để tính góc giữa hai vectơ, ta cần tính tích vô hướng của chúng và độ dài của từng vectơ, sau đó áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa hai vectơ và cuối cùng tính góc θ bằng công thức θ = acos(cos(θ)).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ: Cho hai vectơ a = (2, 3, 4) và b = (1, -1, 2). Tính góc giữa hai vectơ này. Bước 1: Tính tích vô hướng của hai vectơ a và b: a·b = 2×1 + 3x(-1) + 4×2 = 2 – 3 + 8 = 7. Bước 2: Tính độ dài của vectơ a và b: |a| = √(2^2 + 3^2 + 4^2) = √29 và |b| = √(1^2 + (-1)^2 + 2^2) = √6. Bước 3: Áp dụng công thức cos(θ) = (a·b) / (|a|·|b|) để tính góc giữa hai vectơ a và b: cos(θ) = 7 / (√29 x √6) ≈ 0.725. Bước 4: Sử dụng công thức θ = acos(cos(θ)) để tính góc θ giữa hai vectơ a và b: θ ≈ acos(0.725) ≈ 43.4 độ. Vậy góc giữa hai vectơ a và b là khoảng 43.4 độ.

Việc tính góc giữa hai vectơ là một bài toán quan trọng trong hình học và các lĩnh vực khoa học khác như vật lý, toán học, kỹ thuật, công nghệ, … Khi hiểu rõ về công thức và cách tính góc giữa hai vectơ, bạn có thể áp dụng vào nhiều bài toán thực tế để giải quyết vấn đề và tìm ra các giải pháp hiệu quả.

Các dạng bài tập thường gặp

Trong các bài tập liên quan đến tính góc giữa hai vectơ, chúng ta cần sử dụng các công thức và tính chất liên quan. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:

Bài tập 1:

Cho các vectơ a và b. Tính góc giữa hai vectơ.

Hướng dẫn giải:

Gọi α là góc giữa hai vectơ a và b.

Xem thêm : Từ vựng tiếng Anh: chủ đề phương tiện giao thông

Theo công thức, ta có:

Tìm các giá trị tương ứng trong công thức:

Kết quả là α = 45°.

Vậy đáp án là A.

Bài tập 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a và b. Tính góc giữa hai vectơ.

Hướng dẫn giải:

Để tính góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng Oxy, ta sử dụng công thức:

Như vậy, để tính được góc giữa hai vectơ, ta cần tìm độ dài của hai vectơ a và b, cùng với tích vô hướng của chúng.

Ta có:

• Độ dài của vectơ a:
• Độ dài của vectơ b:
• Tích vô hướng của a và b:

Thay các giá trị vào công thức:

Kết quả là α = 60°.

Vậy đáp án là B.

Bài tập 3:

Cho hai vectơ có độ dài bằng 1 và thỏa mãn điều kiện . Tính góc giữa hai vectơ.

Hướng dẫn giải:

Xem thêm : Family name là gì? Cách sử dụng Family name chính xác

Do (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài), ta có:

Suy ra:

Tính cos α:

Kết quả là cos α = -1/2.

Do đó, góc giữa hai vectơ là:

α = 120°.

Vậy đáp án là C.

Bài tập 4:

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vectơ:

Hướng dẫn giải:

Gọi AD là đường cao của tam giác ABC.

Ta có:

• Vectơ AB = AC (tam giác vuông cân tại A)
• AD vuông góc AB (đường cao của tam giác ABC)

Suy ra, vectơ AD song song với vectơ BC.

Do đó, góc giữa hai vectơ AD và BC là 0 độ.

Tích Vô Hướng và Góc giữa Hai Véc Tơ (Toán 10) | Thầy Nguyễn Phan Tiến – YouTube

Bạn Đang Xem Bài Viết: Công thức tính góc giữa hai vectơ? Hướng dẫn tính góc giữa hai vectơ một cách đơn giản và dễ hiểu

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục