Lý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Và Bài Tập Vận Dụng

1. Lý thuyết về tích vô hướng của hai vector

1.1. Góc giữa hai vector

Góc giữa 2 vector trong không gian được định nghĩa tương tự góc giữa hai vector trong mặt phẳng.

Nếu ít nhất một trong hai vector là vector không thì góc giữa hai vector đó không xác định. Còn trong trường hợp cả hai vector đều khác vector không thì ta tiến hành đưa về chung gốc.

Bạn đang xem: Lý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Và Bài Tập Vận Dụng

Trong không gian cho hai vector $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$. Lấy A là một điểm bất kì, gọi B là điểm sao cho $overrightarrow{AB}=overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{AC}=overrightarrow{v}$ là điểm sao cho. Khi đó góc $widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vector $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$, kí hiệu là $(overrightarrow{u},overrightarrow{v})$.

Rõ ràng từ định nghĩa trên ta suy ra được góc giữa hai vector có một số tính chất. Chẳng hạn:

• Góc giữa hai vector bằng 0º khi và chỉ khi hai vector đó cùng chiều.
• Góc giữa hai vector bằng 180º khi và chỉ khi hai vector đó ngược chiều.
• Góc giữa hai vector bằng 90º khi và chỉ khi hai vector đó vuông góc.

Cách tính góc giữa 2 vector trong Oxyz

Áp dụng công thức tính góc giữa hai vector giúp bạn có thể tính được các bài toán cơ bản một cách nhanh chóng nhất. Dưới đây là công thức tổng quát ứng dụng cho các vector trong không gian. Để tính được góc giữa hai vector, sử dụng công thức sau để tính cosin của góc rồi từ đó đổi thành số đo nếu đề bài yêu cầu.

Cho hai vector $vec{u}(x; y; z)$ và $vec{v}(x’; y’; z’)$, góc giữa hai vector $vec{u}, vec{v}$ được tính theo công thức:

$cos(vec{u},vec{v})=frac{vec{u}.vec{v}}{left |vec{u}right |.left |vec{v}right |}=frac{x.x’+y.y’+z.z’}{sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.sqrt{x’^{2}+y’^{2}+z’^{2}}}$

1.2. Tích vô hướng của hai vector trong không gian

Tích vô hướng của hai vector trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 vector bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng:

Cho hai vector $vec{a}=(x_{1};y_{1};z_{1}) , vec{b}=(x_{2};y_{2};z_{2})$. Khi đó:

Tích vô hướng của hai vector $vec{a}$ và $vec{b}$ là:

$vec{a}.vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$

1.3. Vector chỉ phương của đường thẳng

– Giá của vector là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vector đó.

– Cho đường thẳng d. Ta có vector $vec{u}$ khác vector 0 được gọi là vector chỉ phương (VTCP) của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d.

– Nếu là VTCP của d thì $k.vec{u}$ cũng là VTCP của d.

– VTCP và VTPT vuông góc với nhau. Nên suy ra ta có:

Nếu: $vec{u}=(a, b)$

Thì: $vec{n}= (-b, a)$

Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại.

– Như vậy ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó.

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2. Gọi $vec{u_{1}}=(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ và $vec{u_{2}}=(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ lần lượt là vector chỉ phương của $overrightarrow{d_{1}}, overrightarrow{d_{2}}$

Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức:

$Cos (overrightarrow{d_{1}}, overrightarrow{d_{2}}) = left |cos(vec{u_{1}}, vec{u_{2}}) right | = frac{vec{u_{1}}.vec{u_{2}}}{vec{u_{1}}.vec{u_{2}}} = frac{left |a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2} right |}{sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$

2. Hai đường thẳng vuông góc với nhau

Cùng tìm hiểu các định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng vuông góc lớp 11 nhé!

2.1. Định nghĩa

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o.

2.2. Tính chất

Tính chất hai đường thẳng vuông góc được trình bày như sau:

Cho hai đường thẳng a và b có vector chỉ phương lần lượt là: $vec{u_{1}}$ , $vec{u_{2}}$

– Ta có a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của vector chỉ phương hai đường thẳng bằng 0

$vec{u_{1}}.vec{u_{2}}=0$.

– Nếu a // b mà c ⊥ a thì c ⊥ b

– Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc

3.1. Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách

– Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ bằng cách chọn một điểm O thích hợp (O thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song (có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d2.

Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2.

Lưu ý : Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác

$cos A= frac{b^{2}+c^{2} -a^{2}}{2bc}$

– Cách 2: Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng biết hai vector chỉ phương của chúng.

$cos(varphi )=left | cos(vec{u}, vec{v} right )|=frac{vec{u}.vec{v}}{left |vec{u} right |.left |vec{v} right |}$

Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0.

A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰

Đường thẳng 3x + y – 8 = 0 có vector pháp tuyến $vec{n}_{a} = (3;1)$

Đường thẳng 4x − 2y + 10 = 0 có vector pháp tuyến $vec{n}_{b} = (4;-2)$

$cos(overrightarrow{d_{1}},overrightarrow{d_{2}})=left | cos(vec{n_{1};vec{n_{2}}}) right |=frac{left | vec{n_{1}}.vec{n_{2}} right |}{left | vec{n_{1}} right |.left | vec{n_{2}} right |}=frac{sqrt{3^{2}+1^{2}}.sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}}=frac{1}{sqrt{2}}$

=> ($d_{1},d_{2}$) = 45o

Ví dụ 2: Tính góc giữa 2 đường thẳng (a): 3x + y− 2 = 0 và (b) 2x −y + 39 = 0

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng 3x + y − 2 = 0 có vector pháp tuyến $vec{n_{a}} = (3;1)$

Đường thẳng 2x − y +39 = 0 có vector pháp tuyến $vec{n_{b}} = (2;-1)$

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Phân tích 9 câu đầu bài Đất Nước của Nguyễn Khoa Điềm Sơ đồ tư duy & 22 bài phân tích Đất nước 9 câu đầu

$cos(a,b)=left | cos(vec{n_{a};vec{n_{b}}}) right |=frac{left | vec{n_{a}}.vec{n_{b}} right |}{left | vec{n_{a}} right |.left | vec{n_{b}} right |}=frac3.2+1.(-1) right {sqrt{3^{2}+1^{2}}.sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}= frac{5}{sqrt{10}sqrt{5}}=frac{1}{sqrt{2}}$

=> (a,b) = 45o

3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vector chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng.

– từ vuông góc tới song song,

– đường trung trực , đường cao,

– định lý Pitago đảo

– tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

2. Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian:

Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º.

3. Sử dụng công thức $cos(vec{u}, vec{v})$: với $vec{u}, vec{v}$ là vector chỉ phương của 2 đường thẳng a và b.

– Nếu $(vec{u}, vec{v})$ < 90º thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng $cos(vec{u}, vec{v})$

– Nếu $(vec{u}, vec{v})$ > 90º thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng 180 – $cos(vec{u}, vec{v})$

4. Ta chứng minh tích vô hướng $vec{u}.vec{v} = 0$ trong đó

$vec{u}$ và $vec{v}$ lần lượt là vector chỉ phương của a và b

5. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b.

6. Sử dụng hệ quả của định lý cosin: Trong tam giác ABC với AB = c; AC = b; BC = a

Ta có định lý cosin như sau:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cosA$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cosB$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC$

Từ đó suy ra:

$cosA = frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$

$cosB = frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$

$cosC = frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng: “Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh”.

4. Bài tập vận dụng

Câu 1: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Đáp án đúng: C

Phần dẫn ví dụ 2 là câu hỏi. Phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau.

Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau.

Câu 2: Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì:

A. thuộc một mặt phẳng

B. vuông góc với nhau

C. song song với một mặt phẳng

D. song song với nhau

Đáp án đúng: C

Phương án A sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau

Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau

Phương án D sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau

Phương án C đúng vì chúng đồng phẳng

Câu 3: Cho một hình tứ diện ABCD, được biết AB = CD = a, $IJ = frac{asqrt{3}}{2}$ (trong đó I và J lần lượt là các trung điểm của đoạn BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

A. 30°

B. В. 45°

C. 60°

D. 90°

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng: C

Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của CD và AD.

Vì $ΔACD$ đều nên AM ⊥ CD $Rightarrow overrightarrow{AM}.overrightarrow{CD} = 0$

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Nghị luận xã hội về vấn đề an toàn giao thông 4 Dàn ý & 32 bài văn nghị luận an toàn giao thông

Tương tự có:

$overrightarrow{BM}.overrightarrow{CD}=0$

Vì thế, ta có:

$overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} Leftrightarrow (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB}).overrightarrow{CD}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{CD}+overrightarrow{MB}.overrightarrow{CD}=0+0=0$

Suy ra AB ⊥ CD

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Chứng minh AB vuông góc với AD.

Giải

Lấy M là trung điểm của AD.

Vì $ΔABD$ đều nên AM ⊥ BD $Rightarrow overrightarrow{AM}.overrightarrow{BD} = 0$

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Nghị luận xã hội về vấn đề an toàn giao thông 4 Dàn ý & 32 bài văn nghị luận an toàn giao thông

Tương tự có:

$overrightarrow{MB}.overrightarrow{BD}=0$

Vì thế, ta có:

$overrightarrow{AB}.overrightarrow{BD} Leftrightarrow (overrightarrow{AM}+overrightarrow{MB}).overrightarrow{BD}=overrightarrow{AM}.overrightarrow{BD}+overrightarrow{MB}.overrightarrow{BD}=0+0=0$

Suy ra AB ⊥ AD

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Chứng minh AB vuông góc với BC.

Giải

Giả sử ABCD không tứ diện đã cho. Ta có AB = CD nên hai tam giác ABC và CDA đóng vai trò là các tam giác đều.

Đặt A(0, 0, 0), B(c, 0, 0), D(d, d, d), C(c – d, d, 0). Khi đó, ta có:

$overrightarrow{AB}.(c – d) + overrightarrow{BD}.d = (c, 0, 0).(c – d, d, 0) + (d, d, d).d = 0$

$overrightarrow{AB}.overrightarrow{BC} = (c, 0, 0)(c – d, d, 0) = c^{2} – cd = 0$

Vậy ta có AB vuông góc với BC.

Câu 5: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b.

B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b.

D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng (a)//c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Đáp án: B

Giải thích:

Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau.

C sai do:

Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song.

D sai do: giả sử a vuông góc với c, b song song với c, khi đó góc giữa a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°.

Do đó B đúng.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật.

D. Tứ giác không phải là hình thang.

Giải:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

– MN // PQ (// AB)

– NP // MQ (// CC’)

MNPQ là hình bình hành

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB nên

– CH ⊥ AB

– C’H ⊥ AB

Suy ra AB ⊥ (CHC’)

Do đó AB ⊥ CC’

Ta lại có:

– PQ // AB

–

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục