Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất – Toán lớp 12
- Thuyết minh về Bà Nà Hill – núi Chúa ở Đà Nẵng
- Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về hạnh phúc (Dàn ý + 23 mẫu) Viết đoạn văn về hạnh phúc
- CẤU TRÚC Because – Cấu trúc, cách dùng Because, Because of
- Văn mẫu lớp 8: Thuyết minh về Đà Lạt 2 Dàn ý & 10 bài Thuyết minh danh lam thắng cảnh lớp 8
- Người đi làm nên học TOEIC hay IELTS – Lựa chọn nào phù hợp nhất?
1. Lý thuyết
Bạn đang xem: Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết nhất – Toán 12
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K ta có:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu:
∀x1,x2∈K,x1<x2⇒fx1<fx2
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu:
∀x1,x2∈K,x1<x2⇒fx1>fx2
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K.
Nhận xét:
+ Hàm số f(x) đồng biến trên K:
⇔fx2−fx1x2−x1>0∀x1,x2∈K,x1≠x2.
Khi đó đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
+ Hàm số f(x) nghịch biến trên K :
⇔fx2−fx1x2−x1<0∀x1,x2∈K,x1≠x2.
Khi đó đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
⁕ Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số:
• Nếu f’x>0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f’x<0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a; b)
• Nếu f’x=0, ∀x∈a;b⇒ hàm số f(x) không đổi trên khoảng (a; b)
• Nếu f(x) đồng biến trên khoảng:
a;b⇒f’x≥0, ∀x∈a;b.
• Nếu f(x) nghịch biến trên khoảng:
a;b⇒f’x≤0, ∀x∈a;b.
• Nếu thay đổi khoảng (a; b) bằng một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung thêm giả thiết “hàm số f(x) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.
2. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K
• Nếu f’x≥0 với mọi x∈K và f’x=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x∈K thì hàm số f đồng biến trên K.
• Nếu f’x≤0 với mọi x∈K và f’x=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x∈K thì hàm số f đồng biến trên K.
Phương pháp giải chung
Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm y’=f’x.
Bước 2. Tìm các điểm tại đó f’x=0 hoặc f’x không xác định.
Xem thêm : Thì hiện tại đơn (Simple present tense) – Công thức, cách dùng, dấu hiệu và bài tập
Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của y’.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho y’.
Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của y’.
Chú ý:
• Đối với hàm phân thức hữu tỉ y=ax+bcx+d x≠−dc thì dấu “=” khi xét dấu đạo hàm y’ không xảy ra.
• Giả sử:
y=fx=ax3+bx2+cx+d
⇒f’x=3ax2+2bx+c.
+ Hàm số đồng biến trên R
⇔f’x≥0;∀x∈ℝ⇔a>0Δ≤0a=0b=0c>0.
+ Hàm số nghịch biến trên R
⇔f’x≤0;∀x∈ℝ⇔a<0Δ≤0a=0b=0c<0.
Trường hợp 2 thì hệ số c khác 0 vì khi a = b = c = 0 thì f(x) = d
(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)
• Với dạng toán tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu một chiều trên khoảng có độ dài bằng 1 ta giải như sau:
Bước 1: Tính y’=f’x;m=ax2+bx+c.
Bước 2: Hàm số đơn điệu trên x1;x2⇔y’=0 có 2 nghiệm phân biệt
⇔Δ>0a≠0 *
Bước 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng 1
⇔x1−x2=l⇔x1+x22−4x1x2=l2⇔S2−4P=l2**
Bước 4: Giả (*) và giao với (* *) để suy ra giá trị m cần tìm.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a) y=x3−3×2+2
b) y=x4−2×2
Lời giải
a) TXĐ: D=ℝ
Ta có:
y’=3×2−6x⇔x=0x=2
Bảng biến thiên (xét dấu):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;0 và 2;+∞, nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Xem thêm : Khóa học TOEIC 4 kỹ năng
b) TXĐ: D=ℝ
Ta có:
y’=4×3−4x⇔x=0x=±1
Bảng biến thiên (xét dấu):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −1;0 và 1;+∞, nghịch biến trên khoảng −∞;−1 và (0; 1).
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau
a) y=x+4x.
b) y=x2−x+9x−1.
Lời giải
a) TXĐ: D=ℝ.
Ta có:
y’=1−4×2=0⇔x=2x=−2
Bảng biến thiên (xét dấu y’):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;−2 và 2;+∞, hàm số nghịch biến trên khoảng (- 2; 0) và (0; 2).
b) TXĐ: D=ℝ1
Ta có:
y’=2x−1x−1−x2−x+9x−12=x2−2x−8x−12=0 ⇔x=−2x=4
Bảng biến thiên (xét dấu):
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng −∞;−2 và 4;+∞, hàm số nghịch biến trên các khoảng (- 2; 1) và (1; 4).
4. Luyện tập
Bài 1. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
a) y=−x2+2x+5
b) y=13×3+3×2−7x+2
Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y=1+x2−x
b) y=x2+3×1−x
Bài 3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a) y=−x4+2×2−3
b) y=x2+x−6
Bài 4. Chứng minh rằng hàm số sinx−x nghịch biến trên nửa khoảng 0;π2
Bài 5. Tìm m để hàm số y=13×3−mx2+2m+3x−2 đồng biến trên R
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:
Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục