Chi tiết lý thuyết và bài tập ứng dụng hàm số lượng giác, phương trình hàm số lượng giác trong toán học

Hàm số lượng giác là gì?

Hàm số lượng giác là những hàm toán học liên quan đến góc, được sử dụng khi nghiên cứu về tam giác và các hiện tượng có tính chất tuần hoàn. Các hàm số lượng giác của một góc thường được xác định bằng tỷ lệ của hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó hoặc tỷ lệ của các đoạn thẳng kết nối các điểm đặc biệt trên một đường tròn đơn vị.

Các công thức hàm số lượng giác đầy đủ nhất

Sau đây là các công thức hàm số lượng giác thường gặp trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc Gia.

Bạn đang xem: Chi tiết lý thuyết và bài tập ứng dụng hàm số lượng giác, phương trình hàm số lượng giác trong toán học

Công thức hàm số lượng giác cơ bản

Công thức cộng trong hàm số lượng giác

Một mẹo đơn giản để nhớ các công thức cộng trong hàm số lượng giác là câu nói “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nơi tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”

Công thức liên quan đến cung trên đường tròn lượng giác

Hai góc đối nhau:

• cos (-x) = cos x

• sin (-x) = -sin x

• tan (-x) = -tan x

• cot (-x) = -cot x

Hai góc bù nhau:

• sin (π – x) = sin x

• cos (π – x) = -cos x

• tan (π – x) = -tan x

• cot (π – x) = -cot x

Hai góc phụ nhau:

• sin (π/2 – x) = cos x

• cos (π/2 – x) = sin x

• tan (π/2 – x) = cot x

• cot (π/2 – x) = tan x

Hai góc hơn hoặc kém π:

• sin (π + x) = -sin x

• cos (π + x) = -cos x

• tan (π + x) = tan x

• cot (π + x) = cot x

Xem thêm : Thuyết Minh Dinh Độc Lập

Hai góc hơn hoặc kém π/2:

• sin (π/2 + x) = cos x

• cos (π/2 + x) = -sin x

• tan (π/2 + x) = -cot x

• cot (π/2 + x) = -tan x

Một mẹo để nhớ các công thức như sau: “Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn hoặc kém π.”

Công thức nhân

ĐỪNG BỎ LỠ!! Chương trình học Toán bằng tiếng Anh, giúp phát triển tư duy một cách toàn diện nhất. Nhận ưu đãi lên đến 40% NGAY TẠI ĐÂY!

Công thức hạ bậc trong hàm số lượng giác

Công thức biến tổng thành tích

Một mẹo để dễ dàng ghi nhớ các công thức biến tổng thành tích là “Cos cộng cos bằng 2 cos cos, cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin; sin cộng sin bằng 2 sin cos, sin trừ sin bằng 2 cos sin.”

Công thức biến tích thành tổng

Nghiệm của phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản:

Phương trình lượng giác trong trường hợp đặc biệt:

• sin a = 0 ⇔ a = kπ; (k ∈ Z)

• sin a = 1 ⇔ a = π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• sin a = -1 ⇔ a = -π/2 + k2π; (k ∈ Z)

• cos a = 0 ⇔ a = π/2 + kπ; (k ∈ Z)

• cos a = 1 ⇔ a = k2π; (k ∈ Z)

• cos a = -1 ⇔ a = π + k2π; (k ∈ Z)

Xem thêm: Khái niệm và công thức của số hữu tỉ, sự khác biệt giữa số hữu tỉ và số vô tỉ là gì?

Phương trình lượng giác cơ bản và các trường hợp đặt biệt

Phương trình sin x = sin α, sin x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình cos x = cos α, cos x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình tan x = tan α, tan x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình cot x = cot α, cot x = a

Các trường hợp đặc biệt:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Có dạng at + b = 0 với a, b ∈ Ζ, a ≠ 0, với t là một hàm số lượng giác bất kỳ. Công thức giải như sau:

Đạo hàm hàm số lượng giác cơ bản

Đạo hàm của các hàm số lượng giác là phương pháp toán học để tìm tốc độ biến thiên của một hàm số lượng giác theo sự biến thiên của biến số. Các hàm số lượng giác phổ biến là sin(x), cos(x) và tan(x).

Cách tính giới hạn hàm số lượng giác hiệu quả nhất

Xem thêm : 12 Bài Thuyết minh về tác giả Nguyễn Trãi SIÊU HAY

Áp dụng giới hạn đặc biệt:

Dòng thời gian tích cực tìm giới hạn của một hàm số lượng giác f(x) với biến x.

Bước 1: Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản, công thức nhân đôi, công thức cộng, công thức biến đổi,… để chuyển đổi hàm số lượng giác f(x) thành cùng dạng giới hạn đặc biệt như đã đề cập ở trên.

Bước 2: Áp dụng các định lý về giới hạn để tìm giới hạn của hàm số lượng giác đã cho.

Cách tính chu kỳ hàm số lượng giác dễ hiểu nhất

Một hàm số y = f(x) được xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có một số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có x + T ∈ D, x – T ∈ D và f(x + T) = f(x). Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, thì hàm số được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.

Cách tính chu kỳ của hàm số lượng giác (nếu có):

• Hàm số y = k.sin(ax+b) có chu kỳ T= 2π/|a|

• Hàm số y = k.cos(ax+b) có chu kỳ T= 2π/|a|

• Hàm số y = k.tan(ax+b) có chu kỳ T= π/|a|

• Hàm số y = k.cot(ax+b) có chu kỳ T= π/|a|

• Nếu hàm số y = f(x) có chu kỳ T1 và hàm số y = g(x) có chu kỳ T2, thì chu kỳ của hàm số y = a.f(x) + b.g(x) là T = bội số nhỏ nhất của T1 và T2

Bài tập mẫu:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A. y = sinx – x

B. y = cosx

C. y = x.sinx

D. y = (x^2 + 1)/x

Đáp án: Chọn B

Tập xác định của hàm số: D = R .

Với mọi x ∈ D, k ∈ Z, ta có x – 2kπ ∈ D và x + 2kπ ∈ D, cos(x+2kπ) = cosx .

Vậy y = cosx là hàm số tuần hoàn.

Một số bài tập tự luyện về hàm số lượng giác

Trên đây là tất cả các thông tin về hàm số lượng giác mà bạn cần ghi nhớ. Hy vọng, với những chia sẻ thực tế trên đây từ Monkey, sẽ giúp bạn dễ dàng đạt được thành tích tốt trong các đề thi sắp tới. Chúc bạn may mắn!

ĐỪNG BỎ LỠ!! Chương trình học Toán bằng tiếng Anh, giúp phát triển tư duy một cách toàn diện nhất. Nhận ưu đãi lên đến 40% NGAY TẠI ĐÂY!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục