Toán 9 – Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các công thức trong tam giác vuông là những công thức quan trọng liên quan đến các cạnh, đường cao và góc trong tam giác vuông mà chúng ta cần nắm vững và áp dụng để giải các bài tập.

Hãy cùng tìm hiểu về các công thức trong tam giác vuông nhé!

Bạn đang xem: Toán 9 – Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

#1. Các công thức trong tam giác vuông

A – Một số công thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Dưới đây là một số công thức quan trọng liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó, chúng ta có các công thức sau:

Cách để nhớ các công thức trong tam giác vuông: Bạn có thể tự vẽ lại hình và đặt tên các đỉnh sau đó viết lại công thức.

Ngoài ra, việc thực hành chứng minh lại các công thức cũng giúp bạn ghi nhớ tốt hơn.

Video bài giảng:

Cách chứng minh các công thức trong tam giác vuông

1. Chứng minh b² = ab’ ; c² = ac’

Xét hai tam giác vuông AHC và BAC.

Hai tam giác vuông này có cùng một góc nhọn C nên chúng đồng dạng với nhau.

Do đó HC/AC = AC/BC ⇒ AC² = BC.HC

Tức là b² = ab’.

Tương tự, ta có c² = ac’. (đpcm)

2. Chứng minh h² = b’c’

Xét tam giác AHB và CHA có:

∠BAH = ∠ACH (cùng phụ với góc HAC)

∠AHB = ∠AHC ( = 90°)

⇒ ΔAHB đồng dạng với ΔCHA (g.g)

⇒ AH/CH = BH/AH ⇒ AH² = CH.BA

Tức là h² = b’c’ (đpcm)

3. Chứng minh ah = bc

Từ công thức tính diện tích hình tam giác ABC, ta có:

S ΔABC = 1/2.a.h = a/2. bc ⇒ ah = bc

4. Chứng minh 1/h² = 1/b² + 1/c²

Từ công thức ah = bc ⇒ a²h² = b²c² = (b² + c²)h² = b²c²

⇒ 1/h² = (b² + c²)/(b²c²)

Từ đó ta có

1/h² = 1/b² + 1/c²

Phát biểu 4 định lí công thức trong tam giác vuông

Định lí 1

Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó lên cạnh huyền.

b² = ab’ ; c² = ac’

Định lí 2

Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

h² = b’c’

Định lí 3

Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng.

ah = bc

Định lí 4

Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Ví dụ áp dụng công thức trong tam giác vuông để giải bài tập

Xem thêm : Kế hoạch dạy học môn Toán 10 sách Kết nối tri thức với cuộc sống Phân phối chương trình Toán 10

VÍ DỤ 1: Chứng minh định lí Pythagore.

Rõ ràng, trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền a = b’ + c’, vì vậy

b² + c² = ab’ + ac’ = a(b’ + c’) = a . a = a².

Như vậy, từ công thức trong tam giác vuông, ta cũng suy ra được định lí Pythagore.

VÍ DỤ 2:

Cho tam giác vuông trong đó các cạnh góc vuông có độ dài 6 cm và 8 cm. Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên, bạn nên vẽ hình.

Gọi đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông của tam giác này là h.

Ta biết độ dài 2 cạnh góc vuông và ta cần tìm h.

Vì vậy, ta cần nhớ đến công thức liên quan đến đường cao và các cạnh góc vuông, tức là

1/h² = 1/b² + 1/c²

⇒ h² = 576/25 ⇒ h = 24/5

Chú ý: Không nên nhớ công thức theo kiểu học thuộc, vì khi vẽ hình có thể đặt tên các đỉnh A, B, C ở vị trí khác nhau, nếu cứ quy b là cạnh đối với góc B và c là cạnh đối với góc C thì tính h có thể sẽ sai.

Xem thêm ví dụ tại đây.

Xem tiếp:

B – Tỉ số lượng giác của góc nhọn

C – Một số công thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

#2. Bài tập về các công thức trong tam giác vuông

Dạng 1: Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Bài tập áp dụng

Bài 1: Hãy tính x và y trong mỗi hình vẽ sau:

Giải:

Ta nhớ đến công thức trong tam giác vuông liên quan đến cạnh góc vuông và hình chiếu của nó lên cạnh huyền:

AB² = BH. BC

AC² = CH. BC

Mà ta có thể tính BC dựa vào Định lí Pythagore: BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 100 ⇒ BC = 10.

Ta sẽ tính được: x = BH = AB² /BC = 36/10 = 3,6.

y = AC² /BC = 64/10 = 6,4.

Giải:

Ta có thể tính ngay được x nếu sử dụng công thức trong tam giác vuông về hình chiếu và cạnh huyền:

AB² = 20x ⇔ x = AB²/20 = 12²/20 = 7,2

Ta có y = 20 − 7,2 = 12,8.

Giải:

Ta tính ngay được y bằng cách dùng định lí Pythagore:

y² = 5² + 7² = 74 ⇒ y = √74 ≈ 8,60

Ta áp dụng công thức trong tam giác vuông (Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền) để tìm x:

AB.AC = x.y ⇔ x = AB.AC/y = 5.7/√74 = 4,07

Giải:

Ta có thể áp dụng được công thức trong tam giác vuông ( h² = b’c’) để tìm x:

AH² = 1.x ⇔ x = 2² = 4.

Để tìm y ta có thể dùng định lí Pythagore: y² = 2² + 4² = suy ra y = √20 = 4,47.

Nếu chưa vững dạng 1 ta hãy làm thêm các bài tập cơ bản tương tự dưới đây:

Xem thêm: Bài tập dạng 1 Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông

Các bạn có thể xem video bài giảng Dạng 1 ở đây:

Dạng 2: Chứng minh các công thức trong tam giác vuông

Bài tập áp dụng

Bài 1: (Sách củng cố và ôn luyện Toán 9)

Cho tam giác CED nhọn, đường cao CH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên CD, CE. Chứng minh:

Xem thêm : Ship COD Là Gì? Tiền Thu Hộ Ship COD Là Sao? Như Thế Nào?

a) CD. CM = CE. CN

b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED.

Giải:

a) Ta cần chứng minh CM.CD = CN. CE

Trước hết, ta cần viết ra CM. CD = ?

Áp dụng công thức trong tam giác vuông đối với các tam giác vuông:

+) ΔABH: Ta có AB.AM = AH²

+) ΔAHC: Ta có AC.AN = AH²

Như vậy CM. CD = CN. CE (vì cùng = AH²) là điều ta cần chứng minh.

b) Ta cần chứng minh tam giác CMN đồng dạng tam giác CED. Đầu tiên cần tìm xem hai tam giác này có góc chung hay không, có mối liên hệ giữa các cạnh của hai tam giác này không? từ câu a có suy ra được điều gì không?

Ta nhận thấy ngay, hai tam giác CMN và CED có góc C là góc chung.

Như vậy ta có tam giác CMN ∼ CED theo trường hợp Cạnh – Góc – Cạnh.

Bài 2:

Cho tam giác vuông tại A, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB trên AB và AC. Chứng minh rằng:

a) AM. AB = AN.AC;

b) HB.HC = MA.MB + NA.NC

c) HB/HC =( AB/AC)²

Hướng dẫn giải:

a) Ta cần chứng minh AM.AB = AN. AC, vì vậy ta hãy xét các tam giác vuông có các cạnh AM, AB, AN, AC.

Áp dụng công thức trong tam giác vuông đối với các tam giác vuông:

+) ΔABH: Ta có AB.AM = AH²

+) ΔAHC: Ta có AC.AN = AH²

Vậy ta có AB.AM = AC.AN (= AH²) là điều ta cần chứng minh.

b)

Với cách suy luận như trên, ta trình bày như sau:

Áp dụng công thức trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) : Vế trái = HB. HC = AH²

Áp dụng công thức trong tam giác vuông ABH (vuông tại H): MA.MB = MH²

Tương tự trong tam giác vuông ACH ta có: NA.NC = NH²

Ta có Vế phải = MA.MB + NA.NC = MH² + NH²

Mà ta có tứ giác AMHN là hình chữ nhật ( góc A = M = N = 90°) nên suy ra góc MHN = 90° và

AH = MN ⇒ AH² = MN²

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông MHN (vuông tại H), ta có: MH² + NH² = MN² = AH²

Như vậy Vế trái = Vế phải nên ta có đpcm: HB.HC = MA.MB + NA.NC

c)

Thầy Toán học

Nguyễn Thùy Dung

Xem thêm:

Bài 2: Tỉ số lượng giác của góc nhọnBài 3: Các công thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Quay lại trang Học toán lớp 9 để học bài khác.

Cảm ơn bạn đã đọc bài viết. Hãy chia sẻ cho bạn bè nếu thấy bài viết hữu ích nhé!

Chúc bạn học tốt!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục