Khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Giải bài tập SGK Toán 12

Bài học trước đó đã giúp chúng ta làm quen với khái niệm khối đa diện. Tiếp nối bài học đó, chúng ta sẽ tìm hiểu về hai dạng đặc biệt của khối đa diện, đó là khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Bài giảng sẽ giới thiệu các khái niệm, ví dụ minh họa và những định lý liên quan đến khối đa diện lồi và khối đa diện đều. Dưới đây là bài học để chúng ta nắm vững kiến thức và áp dụng vào việc giải các bài tập trong Sách Giáo Khoa.

Bạn đang xem: Khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Giải bài tập SGK Toán 12

Lý thuyết cần nắm về Khối đa diện

Khối đa diện lồi

Một đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên (H) luôn nằm trong (H). Đa diện như vậy được gọi là đa diện lồi.

Ví dụ: Các khối lăng trụ tam giác, khối hộp và khối tứ diện là những khối đa diện lồi.

Khối đa diện đều

1. Định nghĩa

Một đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều nếu thỏa mãn hai tính chất sau đây:

– Các mặt của nó là những đa giác đều có cạnh bằng nhau.

– Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Vì vậy, khối đa diện đều có dạng {p, q}.

2. Định lí

Chỉ có năm loại khối đa diện đều được biết đến, đó là loại {3, 3}, loại {4, 3}, loại {3, 4}, loại {5, 3} và loại {3, 5}.

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều

Giải bài tập Sách Giáo Khoa Toán 12 trang 18 về khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Bài 1 (trang 18 Sách Giáo Khoa Hình học 12):

Cắt một tấm bìa theo mẫu dưới đây (chiều cao 123), gấp theo đường kẻ, rồi dán các cạnh lại với nhau để tạo thành các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Lời giải:

Bài 2 (trang 18 Sách Giáo Khoa Hình học 12):

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Lời giải:

Đặt a là cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ (hình (H)).

Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) là: SH = 6.a2 (đơn vị diện tích).

Gọi E, F, M, N, P, Q lần lượt là tâm các mặt của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo hình vẽ.

Do đó, hình bát diện đều (H’) là EMNPQF.

– Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AA’D ⇒ A’D = a√2

– EM là đường trung bình của tam giác BA’D

⇒ (H’) có 8 mặt là các tam giác đều cạnh bằng

⇒ Diện tích một mặt của (H’) là:

Xem thêm : Công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, lớp 10, lớp 11

⇒ Diện tích toàn phần của (H’) là:

Vậy tỉ số diện tích cần tính là:

Bài 3 (trang 18 Sách Giáo Khoa Hình học 12):

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một tứ diện đều.

Lời giải:

Xét tứ diện đều A.BCD cạnh bằng a. Gọi G1, G2, G3 và G4 lần lượt là tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC.

Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác AMD có:

Tương tự, ta có: G1G2 = G2G3 = G3G4 = G1G3 = G1G4 = G2G4 =

Tập hợp các tâm của mặt của tứ diện đều ABCD tạo thành tứ diện G1G2G3G4 có độ dài cạnh là

Vậy tứ diện G1G2G3G4 là một tứ diện đều.

Bài 4 (trang 18 Sách Giáo Khoa Hình học 12):

Chứng minh rằng AB’CD’ là một tứ diện đều và tính các cạnh của nó dựa trên a.

Lời giải:

Giả sử hình bát diện đều ABCDEF có cạnh bằng a.

a) B, C, D, E cách đều tâm A và F, suy ra B, C, D, E cùng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AF.

Trong không gian (BCDE), ta có BC = CD = DE = EB (= a)

⇒ BCDE là hình thoi

⇒ BD ⊥ EC và BD, EC cắt nhau tại một điểm.

Chứng minh tương tự, ta suy ra AF và BD, AF và CE vuông góc nhau và cắt nhau tại một điểm.

b) Gọi O là trung điểm của BD, CE, AF.

Vì AB = AE (= a), nên BO = OE ⇒ BD = EC

⇒ Hình thoi BCDE là hình vuông.

Chứng minh tương tự: ABFD, AEFC đều là hình vuông.

Chú ý: Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Bài tập tự luyện về Khối đa diện

Làm thêm nhiều bài tập tự luyện giúp rèn luyện tư duy giải nhanh và chính xác các bài trắc nghiệm!

Phần câu hỏi

Câu 1: Cho các mệnh đề sau:

I. Số cạnh của một khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 6.

II. Số mặt của khối đa diện lồi luôn lớn hơn hoặc bằng 5.

Xem thêm : CẤU TRÚC SO FAR: CÁCH DÙNG VÀ BÀI TẬP CÓ ĐÁP ÁN

III. Số đỉnh của khối đa diện lồi luôn lớn hơn 4.

Trong các mệnh đề trên, những mệnh đề nào là đúng?

A. Chỉ I

B. Chỉ II

C. I và II

D. II và III

Câu 2: Có tất cả bao nhiêu khối đa diện đều?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Câu 3: Biết (H) là đa diện đều loại {3,5} với số đỉnh và số cạnh lần lượt là a và b. Tính a−b .

A. a−b=18

B. a−b=−8

C. a−b=−18

D. a−b=10

Câu 4: Số hình đa diện lồi trong các hình dưới đây là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 5: Khối hai mươi mặt đều thuộc loại nào trong số sau?

A. {3,4}

B. {4,3}

C. {3,5}

D. {5,3}

Phần đáp án

1. C 2. B 3. C 4. B 5. C

Lời kết

Đến đây là hết bài học, các bạn đã hiểu và phân biệt được khối đa diện lồi và khối đa diện đều chưa? Hãy rèn luyện thường xuyên qua việc giải các bài tập trong Sách Giáo Khoa, đồng thời tham khảo thêm các nguồn tài liệu khác để có nhiều loại bài tập hơn. Một nguồn tài liệu hữu ích khác mà bạn có thể tìm hiểu là trang web Toppy.

Toppy là một công ty Edtech chuyên về giáo dục trực tuyến, cung cấp trải nghiệm học tập cá nhân cho hàng trăm nghìn học sinh, sinh viên và giáo viên trên toàn cầu. Với một kho tàng kiến thức đa dạng và chương trình học theo sách giáo khoa, các giáo viên Toppy luôn cố gắng mang đến những bài giảng hay và dễ hiểu nhất, giúp các bạn tiến bộ từng ngày.

Chúc các bạn thành công trong việc nắm vững môn Toán 12 và đạt được nhiều điểm cao!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục