Công thức phép tịnh tiến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán lớp 11

Công thức phép tịnh tiến – Toán lớp 11

1. Lý thuyết

Bạn đang xem: Công thức phép tịnh tiến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán lớp 11

Trong mặt phẳng, cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→.

Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường được kí hiệu là T_v→, v→ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy, MM’→=v→ khi và chỉ khi Tv→M=M’.

Phép tịnh tiến theo vectơ không được gọi là phép đồng nhất (biến mỗi điểm thành chính nó).

* Tính chất

– Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

– Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

– Biến một vecto thành một vecto bằng nó.

– Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

– Biến một góc thành một góc bằng nó.

– Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

2. Công thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ v→=a;b. Với mỗi điểm M(x;y), ta có điểm M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v→. Khi đó MM’→=v→ ⇔ x’ = x + a, y’ = y + b.

(Tọa độ ảnh = tọa độ điểm + tọa độ vectơ tịnh tiến)

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→=(1;−5), điểm A(2; 2), đường thẳng d: 3x + 4y – 4 = 0, đường tròn: (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0. Xác định:

a) Điểm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

b) Đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

c) Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→.

Lời giải

a) Ta có A’ là ảnh của A qua T_v→. Tọa độ A’: x_A’ = x_A + 1 = 3, y_A’ = y_A − 5 = −3. Vậy A’(3; -3).

b) Lấy điểm M(0; 1) thuộc d

Gọi M’ là ảnh của M qua T_v→, khi đó M’∈ d’

Xem thêm : Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Ta có: x_M’ = x_M + 1 = 1, y_M’ = y_M − 5 = −4. Vậy M’(1;-4).

Vì d’ là ảnh của d qua T_v→ nên d’ song song hoặc trùng với d. Suy ra VTPT d’→ = d→ = 3;4.

Vậy phương trình d’: 3(x – 1) + 4(y + 4) = 0. Hay d’: 3x + 4y + 13 = 0.

c) Cách 1: (Tịnh tiến tâm I và giữ nguyên bán kính)

Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 1 = 0

Có tâm I (1; -2) và bán kính R = 12 + (−2)2 − (−1) = 6

Gọi I’ là ảnh của I qua T_v→. Ta có: x_I’ = x_I + 1 = 2, y_I’ = y_I − 5 = −7.

Vậy I’(2; -7)

Đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua T_v→, nên (C’) có tâm I’ và bán kính R.

Vậy phương trình (C’): (x – 2)2 + (y + 7)2 = 6 hay x2 + y2 – 4x + 7y + 47 = 0.

Cách 2: (Tịnh tiến mọi điểm trên đường tròn)

Với mọi điểm B(x;y) bất kì ∈ (C). Gọi B’(x’;y’) là ảnh của B qua phép tịnh tiến.

Khi đó x’ = x + 1, y’ = y − 5 ⇔ x = x’ − 1, y = y’ + 5

Vì B(x;y) ∈ (C) nên thay vào phương trình (C):

(x’ – 1)2 + (y’ + 5)2 – 2(x’ – 1) + 4(y’ + 5) – 1 = 0

Suy ra x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

B’(x’;y’) là ảnh của B qua phép T_v→ nên B’ di động trên đường tròn (C’): x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Vậy ảnh của (C) là đường tròn (C’): x’2 + y’2 – 4x’ + 14y’ + 47 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai parabol (P): y = x2 và (Q): y = x2+ 2x + 2. Tìm phép tịnh tiến T biến (Q) thành (P).

Lời giải

Gọi vectơ tịnh tiến là v→=a;b. Gọi ảnh của (Q) qua phép T_v→ là parabol (R)

Lấy điểm M(x;y) ∈ (Q). Gọi M’(x’;y’)=T_v→(M), khi đó M’∈R

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: x’ = x + a, y’ = y + b ⇔ x = x’ − a, y = y’ − b

Vì , thay vào phương trình (Q): y’ – b = (x’ – a)2 + 2(x’- a) + 2

⇔ y’ = x’2 + 2(1 – a)x’ + a2 – 2a + b + 2

Vậy phương trình (R): y = x2 + 2(1 – a)x + a2 – 2a + b + 2

Xem thêm : Toán 12 đường tiệm cận: Lý thuyết kèm bài tập trắc nghiệm

Để (R) trùng với (P) thì 2(1 − a) = 0, a2 – 2a + b + 2 = 0

⇔ a = 1/2, b = 1

Vậy có duy nhất một phép tịnh tiến biến parabol (Q) thành parabol (P), theo vectơ v→ = -1/2; 1.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(0; 1). Ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ u→ = 1;2 là điểm nào?

A. M'(2; 3)

B. M'(1; 3)

C. M'(1; 1)

D. M'(-1; -1)

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo u→ = 2;3 có phương trình là:

A. x + 2y + 2 = 0

B. x – 2y + 6 = 0

C. 2x – y + 2 = 0

D. 2x + y +2 = 0

Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ u→ = 1;1 là đường tròn có phương trình:

A. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 16

B. (x + 2)2 + (y – 1)2 = 9

C. (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

D. (x + 2)2 + (y + 1)2 = 9

Đáp án: 1B, 2B, 3C

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức phép đối xứng tâm

Công thức phép đối xứng trục

Công thức phép quay

Công thức phép vị tự

Công thức phép đồng dạng

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục