Phương pháp quy nạp toán học – Giải bài tập SGK Toán 11

Quy nạp toán học là một phương pháp được sử dụng để chứng minh một mệnh đề liên quan đến bất kỳ tập hợp nào được sắp xếp theo thứ tự. Phương pháp này thường được sử dụng để chứng minh các mệnh đề trong tập hợp của tất cả các số tự nhiên. Quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh trực tiếp, trong đó chúng ta đưa ra các giả sử và giả thiết để chứng minh các bài toán khác nhau. Vì vậy, để có thể chứng minh, hãy cùng Toppy cùng xem bài giảng: Phương pháp quy nạp toán học, được biên soạn bởi đội ngũ giáo viên Toppy theo chương trình giảng dạy để giúp bạn hiểu sâu kiến thức này. Hãy bắt đầu bài học ngay thôi!

Bạn đang xem: Phương pháp quy nạp toán học – Giải bài tập SGK Toán 11

Bài giảng bao gồm 3 phần chính

• Tổng hợp lý thuyết cần nắm và các ví dụ
• Hướng dẫn giải bài tập sách giáo khoa
• Các bài tập tự luyện

Tổng hợp lý thuyết về Phương pháp quy nạp

Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n∈N∗ là đúng với mọi n mà không thể chứng minh trực tiếp được, chúng ta có thể thực hiện như sau:

Bước 1 : Kiểm tra xem mệnh đề có đúng với n = 1 hay không.

Bước 2 : Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k≥1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Đó chính là phương pháp quy nạp toán học, hay còn được gọi tắt là phương pháp quy nạp.

🍀 Giả sử P(n) là một mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n. Nếu cả hai điều kiện (i) và (ii) dưới đây được thỏa mãn, thì P(n) đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước).

(i) P(m) đúng.

(ii) Với mỗi số tự nhiên k≥m, nếu P(k+1) đúng.

🍀 Phương pháp chứng minh dựa trên nguyên lý quy nạp toán học được gọi là phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắt là phương pháp quy nạp).

CHÚ Ý:

🍀 Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n≥m là số tự nhiên cho trước), ta cần thực hiện hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n=m .

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k≥m . Giả sử P(n) đúng khi n=k, ta sẽ chứng minh P(n) cũng đúng khi n=k+1 . Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên n≥m.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì

a. 1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)2

Giải

a. 1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1)2 (1)

Bước 1:

Với n=1: Vế trái của (1) =1.4=4 ; Vế phải của (1) =1(1+1)2=4 . Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1). Vậy (1) đúng với n=1.

Bước 2:

Giả sử (1) đúng với n=k . Có nghĩa là ta có: 1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1)2 (2)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:

1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2

Thật vậy 1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 (đpcm)

Vậy (1) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi n∈N∗.

Ta phải chứng minh (2) đúng với n=k+1 . Có nghĩa ta phải chứng minh:

Vậy (2) đúng khi n=k+1 . Do đó theo nguyên lí quy nạp, (2) đúng với mọi n∈N∗.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n∈N∗ thì 9^n−1 luôn chia hết cho 8.

Giải

Bước 1:

Với n=1: Ta có u1=9^1−1 chia hết cho 8.

Bước 2:

Giả sử với n=k≥1 ta có uk=9^k−1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh uk+1=9^k+1−1 chia hết cho 8

Thật vậy, ta có uk+1=9^k+1−1=9.9^k−1=9(9^k−1)+8=9uk+8 . Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8, nên uk+1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi n∈N∗ thì un chia hết cho 8.

Giải bài tập sách giáo khoa Đại số 11 Phương pháp quy nạp

Bài 1 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*, ta có các đẳng thức:

Lời giải:

a. + Với n = 1, ta có:

VT = 3 – 1 = 2

⇒ VT = VP

⇒ (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

2 + 5 + 8 + …+ (3k – 1) = k(3k + 1)/2. (*)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là :

Thật vậy :

Ta có :

b) + Với n = 1 :

Vậy (2) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức đúng với n = k, tức là:

Cần chứng minh (2) đúng với n = k + 1, tức là:

Thật vậy, ta có :

c. + Với n = 1 :

⇒ (3) đúng với n = 1

+ Giả sử đẳng thức (3) đúng với n = k nghĩa là :

Cần chứng minh (3) đúng khi n = k + 1, tức là:

Thật vậy:

Bài 2 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với n ∈ N*

a. n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3.

b. 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

c. n3 + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a. Cách 1: Quy nạp

Đặt An = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

A1 = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết 3

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 nghĩa là:

Ak = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak + 1 chia hết 3

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k ⋮ 3

Mà 3k2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3k + 3) ⋮ 3

⇒ Ak + 1 ⋮ 3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

Có: n3 + 3n2 + 5n

= n.(n2 + 3n + 5)

= n.(n2 + 3n + 2 + 3)

= n.(n2 + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) ⋮ 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n ⋮ 3

⇒ n3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vậy n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n ≥ 2.

b. Đặt An = 4n + 15n – 1

với n = 1 ⇒ A1 = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là 4k + 15k – 1 chia hết 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Ak + 1 = 4(k + 1) + 15(k + 1) – 1 chia hết 9

Thật vậy, ta có:

Ak + 1 = 4k+ 1 + 15(k + 1) – 1

= 4.4k + 15k + 15 – 1

Xem thêm : Văn mẫu lớp 7: Giải thích câu tục ngữ Có chí thì nên 3 Dàn ý & 24 bài văn mẫu lớp 7

= (4k + 15k – 1) + 15k+ 4+ 15 – 1

= 4.(4k +15k- 1) – 45k+ 4+ 15 – 1

= 4. Ak + (- 45k + 18)

Ta có: Ak⋮ 9 và ( – 45k+ 18) = 9(- 5k + 2)⋮ 9

Nên Ak + 1 ⋮ 9

Vậy 4n + 15n – 1 chia hết cho 9 ∀n ∈ N*

c. Đặt Un = n3 + 11n

+ Với n = 1 ⇒ U1 = 12 chia hết 6

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là n3 + 11k chia hết 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết 6

Thật vậy ta có:

Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k +1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

= Uk + 3(k2 + k + 4)

Mà: Uk ⋮ 6 (giả thiết quy nạp)

3.(k2 + k + 4) ⋮ 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

⇒ Uk + 1 ⋮ 6.

Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Bài 3 (trang 82 SGK Đại số 11):

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có các bất đẳng thức:

a.3n > 3n + 1

b.2n+1 > 2n + 3

Lời giải:

a. Chứng minh: 3n > 3n + 1 (1)

+ Với n = 2 thì (1) ⇔ 9 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 2, tức là 3k > 3k + 1.

Ta chứng minh đúng với n= k+1 tức là chứng minh: 3k+ 1 > 3(k+1) + 1

Thật vậy, ta có:

3k + 1 = 3.3k > 3.(3k + 1) (Vì 3k > 3k + 1 theo giả sử)

= 9k + 3

= 3k + 3 + 6k

= 3.(k + 1) + 6k

> 3(k + 1) + 1.( vì k ≥ 2 nên 6k ≥ 12> 1)

⇒ (1) đúng với n = k + 1.

Vậy 3n > 3n + 1 đúng với mọi n ≥ 2.

b. 2n + 1 > 2n + 3 (2)

+ Với n = 2 thì (2) ⇔ 8 > 7 (luôn đúng).

+ Giả sử (2) đúng khi n = k ≥ 2, nghĩa là 2k+1 > 2k + 3.

Ta chứng minh đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: 2k+2 > 2(k+ 1)+ 3

Thật vậy, ta có:

2k + 2 = 2.2k + 1

> 2.(2k + 3) = 4k + 6 = 2k + 2 + 2k + 4.

> 2k + 2 + 3 = 2.(k + 1) + 3 ( Vì 2k + 4 >3 với mọi k ≥ 2)

⇒ (2) đúng với n = k + 1.

Vậy 2n + 1 > 2n + 3 với mọi n ≥ 2.

Bài 4 (trang 83 SGK Đại số 11):

a.Tính S1, S2, S3

b.Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục