Bài viết Về Hệ tọa độ trong không gian với phương pháp giải chi tiết để học sinh ôn tập và làm bài tập liên quan đến Hệ tọa độ trong không gian.

Về Hệ tọa độ trong không gian

Bài giảng: Bài 1: Hệ tọa độ trong không gian – Thầy Trần Thế Mạnh (Giáo viên của VietJack)

Bạn đang xem:

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ta xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau và có chung một điểm gốc O. Gọi i→, j→, k→ là các vector đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.

Chú ý:

2. Tọa độ của vector

a) Định nghĩa: u→ = (x; y; z) ⇔ k→ = xi→ + yj→ + zk→

b) Tính chất: Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), k ∈ R

• Tổng/Hiệu hai vector: a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3; )

• Nhân vector với một số thực: ka→ = (ka1; ka2; ka3)

• Vector không: 0→ = (0; 0; 0), vector cơ sở: i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)

• Hai vector cùng phương: a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (với k thuộc R)

• Tích vô hướng của hai vector: a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3

• Hai vector vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa: M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→ (x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ)

Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0

• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .

b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB)

• Vector AB: AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

• Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB:

• Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:

• Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD:

4. Tích có hướng của hai vector

a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho hai vector a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3). Tích có hướng của hai vector a→ và b→ kí hiệu là [a→, b→], được xác định bởi

Chú ý: Tích có hướng của hai vector là một vector, tích vô hướng của hai vector là một số.

b) Tính chất:

• Hai vector vuông góc với nhau: [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→

• Đổi chỗ hai vector: [a→, b→] = -[b→, a→]

• Tích có hướng của hai vector cơ sở: [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→

• Độ lớn của tích có hướng: |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→) (Áp dụng cho trường hợp nâng cao)

• Hai vector cùng phương: a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→ (Chứng minh bằng cách kiểm tra 3 điểm thẳng hàng)

c) Ứng dụng của tích có hướng: (Áp dụng cho trường hợp nâng cao)

• Điều kiện đồng phẳng của ba vector: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0

• Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→], AD→|

• Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→], AC→s|

• Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|

• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|

Chú ý:

– Tích vô hướng của hai vector thường được sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

Xem thêm : Viết đoạn văn Nghị luận xã hội 200 chữ suy nghĩ về tuổi trẻ

– Tích có hướng của hai vector thường được sử dụng để tính diện tích tam giác, tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh hai vector cùng phương và không cùng phương.

5. Phương trình mặt cầu

a) Định nghĩa:

Cho điểm I và một số thực dương R. Tập hợp tất cả các điểm M trong không gian cách I một khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I, bán kính R.

Kí hiệu: S(I; R) ⇔ S(I; R) = IM = R

b) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng:

Lưu ý: Khi mặt phẳng (P) đi qua tâm I thì mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng cắt và đường tròn lớn là đường tròn tạo bởi sự cắt giữa (P) và mặt cầu.

c) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng:

* Lưu ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ cắt mặt cầu tại hai điểm A, B thì bán kính R của mặt cầu được tính như sau:

+ Xác định: d(I; Δ) = IH

+ Lúc đó:

ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

* Đường tròn (C) trong không gian Oxyz, được coi là giao tuyến của (S) và mặt phẳng .

(S): x2 + y2 + z2 – 2ax -2by – 2cz + d = 0

(α): Ax + By + Cz + D = 0

* Xác định tâm I’ và bán kính R’ của (C).

+ Tâm I’ = d ∩ (α) .

Trong đó d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với mp(α)

+ Bán kính

d) Điều kiện tiếp xúc : Cho mặt cầu (S) tâm I và bán kính R .

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I;(α)) = R

* Lưu ý: Ta tìm điểm tiếp xúc Mo(xo; yo; zo) .

Sử dụng tính chất :

B. Kĩ năng giải bài tập

Dạng 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Phương pháp:

* Cách 1: Bước 1: Xác định tâm I(a; b; c) .

Bước 2: Xác định bán kính R của (S).

Bước 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

(S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

* Cách 2: Gọi phương trình (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Phương trình (S) được xác định đầy đủ khi biết các giá trị a, b, c, d. (a2 + b2 + c2 – d > 0)

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) để thoả các trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3 .

b) (S) có tâm I(1; 2; 0) và (S) đi qua P(2; -2; 1).

c) (S) có đường kính AB với A(1; 3; 1), B(-2; 0; 1).

Lời giải:

a) Mặt cầu có tâm I(2; 2; -3) và bán kính R = 3, phương trình của nó là:

(S): (x – 2)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 9

b) Ta có: IP→ = (1; -4; 1) ⇒ IP = 3√2.

Mặt cầu có tâm I(1; 2; 0) và bán kính R = IP = 3√2 , phương trình của nó là:

Xem thêm : Kiến thức chi tiết về mệnh đề danh từ (Noun clause) trong tiếng Anh

(S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 18

c) Ta có: AB→ = (-3; -3; 0) ⇒ AB = 3√2.

Gọi I là trung điểm của AB ⇒

Mặt cầu có tâm và bán kính , phương trình của nó là:

Bài 2:Viết phương trình mặt cầu (S) dựa trên các trường hợp sau:

a) (S) đi qua A(3; 1; 0), B(5; 5; 0) và tâm I nằm trên trục Ox.

b) (S) có tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0.

c) (S) có tâm I(-1; 2; 0) và có một tiếp tuyến là đường thẳng

Lời giải:

a) Gọi I(a; 0; 0) ∈ Ox. Ta có: IA→ = (3-a; 1; 0), IB→ = (5-a; 5; 0).

Vì (S) đi qua A, B ⇔ IA = IB ⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

⇒ I(10; 0; 0) và IA = 5√2.

Mặt cầu có tâm I(10; 0; 0) và bán kính R = 5√2, phương trình của nó là: (S) : (x – 10)2 + y2 + z2 = 50

b) Vì (S) tiếp xúc với (α) ⇔ d(I, (α)) = R ⇔ R = 75/25 = 3

Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và bán kính R = 3, phương trình của nó là: (S) : x2 + y2 + z2 = 9

c) Chọn A(-1; 1; 0) ∈ Δ ⇒ IA→ = (0; -1; 0).

Đường thẳng Δ có một vector chỉ phương là u→ = (-1; 1; -3) . Ta có: [IA→, u→] = (3; 0; -1) .

Vì (S) tiếp xúc với Δ ⇔ d(I, Δ) = R .

Mặt cầu có tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = √10/11 , phương trình của nó là:

Dạng 2 : SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC

Phương pháp: * Các điều kiện tiếp xúc:

+ Đường thẳng Δ là tiếp tuyến của (S) ⇔ d(I; Δ) = R

+ Mặt phẳng (α) là tiếp diện của (S) ⇔ d(I; (α)) = R

* Lưu ý về các dạng bài tương tự như tìm điểm tiếp xúc và sự cắt giữa các đường thẳng, mặt cầu.

Bài 1: Trên đường thẳng và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 4z + 1 = 0 . Số điểm chung của (Δ) và (S) là :

A. 0. B.1. C.2. D.3.

Lời giải:

Đường thẳng (Δ) đi qua M(0; 1; 2) và có một vector chỉ phương là u→ = (2; 1; -1)

Mặt cầu (S) có tâm I(1; 0; -2) và bán kính R = 2

Ta có MI→ = (1; -1; -4) và [u→, MI→] = (-5; 7; -3) ⇒

Vì d(I,Δ) > R nên (Δ) không cắt mặt cầu (S)

Bài 2: Cho điểm I(1; -2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy là:

A. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = √10

B. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

C. (x + 1)2 + (y 2 2)2 + (z + 3)2 = 10

D. (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 9

Lời giải:

Gọi M là hình chiếu của I(1; -2; 3) lên Oy, ta có : M(0; -2; 0).

IM→ (-1; 0; -3) ⇒ R = d(I,Oy) = IM = √10

Phương trình mặt cầu là : (x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 10

Các bài viết khác về các phần liên quan trong Toán lớp 12:

• Lý thuyết về Hệ tọa độ trong không gian
• Lý thuyết về Phương trình mặt phẳng
• Lý thuyết về Phương trình đường thẳng trong không gian
• Lý thuyết tổng hợp về Phương pháp tọa độ trong không gian

Khuyến mãi trên Shopee tháng 7:

• Đồ dùng học tập giá rẻ
• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
• Tsubaki 199k/3 chai
• L’Oreal mua 1 tặng 3

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục