Trọn bộ lý thuyết về phương trình đường tròn lớp 10 – VUIHOC Toán

1. Định nghĩa về Phương trình đường tròn

1.1. Định nghĩa

Trong Toán học lớp 10, chúng ta sẽ học về phương trình đường tròn. Đường tròn là một đường cong trong mặt phẳng Oxy, có tâm kí hiệu là I(a; b) và bán kính R. Phương trình đường tròn có thể được biểu diễn dưới dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

Chú ý rằng nếu tâm đường tròn là gốc tọa độ O và bán kính R, phương trình đường tròn sẽ có dạng $x^2 + y^2 = R^2$.

Bạn đang xem: Trọn bộ lý thuyết về phương trình đường tròn lớp 10 – VUIHOC Toán

+) Phương trình đường tròn: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ có thể được viết dưới dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$, trong đó $c=a^2+b^2-R^2$.

+) Phương trình $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ chính là phương trình của đường tròn đúng khi $a^2+b^2-c^2>0$. Khi đó, đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính $R=a^2+b^2-c^2$.

1.2. Phương trình tiếp tuyến đường tròn

Trong đường tròn với tâm I(a;b), cho trước điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tiếp tuyến tại M0 của đường tròn đó, ta có phương trình:

$ (x0 – a)(x – x0) + (y0 – b)(y – y0) = 0.$

>>> Để hiểu rõ hơn về phần này, hãy xem thêm bài viết về Phương trình tiếp tuyến đường tròn.

Hướng dẫn ôn tập với bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia.

2. Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến phương trình đường tròn

Dưới đây là một số dạng bài tập về phương trình đường tròn mà chúng ta sẽ thấy rất nhiều.

2.1. Nhận dạng phương trình đường tròn và tìm điều kiện để 1 phương trình là phương trình đường tròn

=> Để giải loại bài tập này:

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=P$ (1)

• Với $P>0$, phương trình (1) là phương trình đường tròn với tâm $I(a;b)$ và bán kính R=P

• Nếu $Pleq 0$, phương trình (1) không là phương trình đường tròn

Cách 2: Đưa phương trình đã cho về dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (2)

với $P=a^2+b^2 -c$

• Với $P>0$, phương trình (2) chính là phương trình đường tròn với tâm I (a; b) và bán kính $R= sqrt{a^2+b^2-c}$

• Nếu $Pleq 0$, phương trình (2) không là phương trình đường tròn

Ví dụ 1: Xác định xem phương trình: $x^2+y^2-2x-4y+9=0$ có phải là một phương trình đường tròn không? Nếu đúng, hãy xác định toạ độ của tâm và bán kính.

Lời giải:

Ta có phương trình: $x^2+y^2-2x-4y+9=0$

Từ phương trình trên, ta có: $a=-1$; $b=2$; $c=9$ nên:

$a^2+b^2-c=(-1)^2+2^2-9=-4<0$

Vậy phương trình $x^2+y^2-2x-4y+9=0$ không là một phương trình đường tròn

Ví dụ 2: Xác định xem phương trình: $x^2+y^2-6x+4y+13=0$ có phải là một phương trình đường tròn không? Nếu đúng, hãy xác định toạ độ của tâm và bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Với phương trình đã cho: $x^2+y^2-6x+4y+13=0 $

Từ phương trình đã cho, ta có: $a=-3$; $b=2$; $c=13$ nên:

$a^2+b^2-c=(-3)^2+2^2-13=-4<0$

Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn

2.2. Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm

=> Để giải loại bài tập này:

Cách 1:

Xác định toạ độ tâm I của đường tròn (C)

Xác định bán kính R của đường tròn (C)

Viết phương trình của đường tròn (C) dưới dạng $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$

Cách 2: Giả sử $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ chính là dạng tổng quát của phương trình đường tròn (C)

• Từ thông tin đề bài, ta thiết lập hệ phương trình ba ẩn a, b, c

• Giải hệ phương trình ba ẩn a, b, c để tìm đến phương trình của đường tròn (C)

* Lưu ý: Với hai điểm A và B, nếu đường tròn (C) đi qua cả hai điểm này thì $IA^2 = IB^2 = R^2$. Trường hợp này thường được áp dụng vào bài toán yêu cầu viết phương trình đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC (hay nói cách khác là viết phương trình đường tròn khi đi qua cả 3 điểm A, B, C)

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(1;-3) và nó đi qua điểm O(0;0)

Lời giải:

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I là (1;-3) và đi qua gốc tọa độ O(0;0). Vì vậy R = OI và

Vậy phương trình của đường tròn © được biểu diễn như sau: $(x -1)^2 + (y + 3)^2 = 10$

Ví dụ 2: Viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I(2; -4) và đi qua điểm O(0;0)

Lời giải:

Ta có: Đường tròn (C) có tâm I là (2; -4) và đi qua gốc tọa độ O(0;0). Vậy R = OI

$left | overrightarrow{OH} right |= sqrt{2^2+(-4)^2} = sqrt{20}$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: $(x – 2)^2+(y + 4)^2=20$

2.3. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Để giải loại bài tập này, ta áp dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn:

– Khi đường tròn (C) tiếp xúc với một đường thẳng ($Delta $) thì $d(I, Delta ) = R$

– Khi đường tròn (C) tiếp xúc với một đường thẳng ($Delta $) tại điểm A thì $d(I, Delta ) = IA = R$

– Khi đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (1) và (2) thì $d(I, 1) = R = d(I, 2) = R$

Ví dụ 1: Viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I là (2;5) và tiếp xúc với trục hoành Ox

Lời giải:

Ta có phương trình đường thẳng của Ox là y = 0

Xem thêm : Khái niệm và công thức tính thể tích của khối đa diện

Khoảng cách từ I đến Ox chính là bán kính R của đường tròn đó:

Vậy phương trình của đường tròn (C) được biểu diễn dưới dạng là: $(x – 2)^2 + (y – 5)^2 = 25$

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) với tâm I là (3;4) và nó tiếp xúc với trục hoành Ox

Lời giải:

Phương trình của Ox là y = 0

Khoảng cách từ I đến Ox chính là bán kính $R$ của đường tròn đó:

$R=d(I,Ox)=frac{sqrt{1}}=4$

Vậy phương trình đường tròn (C) biểu diễn dưới dạng là: $(x – 3)^2+(y – 4)^2=16$

2.4. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

Để giải loại bài tập này, chúng ta có hai cách sau:

Cách 1:

• Xác định diện tích S cùng với nửa chu vi P của tam giác nhằm tìm bán kính đường tròn: $r=frac{S}{P}$

• Với tâm đường tròn nội tiếp kí hiệu là I(a; b) thì khoảng cách từ điểm I đến 3 cạnh của tam giác sẽ bằng nhau (= r), từ đó có thể lập hệ phương trình với 2 ẩn a và b.

• Từ đây có thể giải hệ phương trình và tìm được giá trị của a, b cùng với phương trình đường tròn.

Cách 2:

• Viết phương trình của đường phân giác góc trong thuộc hai góc trong tam giác

• Tìm giao điểm giữa hai đường phân giác đó thì ta sẽ tìm được tâm I của đường tròn

• Tính khoảng cách từ tâm I tới một cạnh bất kỳ trong tam giác ta sẽ thu được độ dài của bán kính $R$

Ví dụ 1: Xác định phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB khi biết điểm A (4; 0) và B (0; 6)

Lời giải:

– Ta có: $S_{Delta OAB}=frac{1}{2}OA.OB=frac{1}{2}.4.3=6$

– Nửa chu vi: $P=frac{OA+OB+AB}{2}=frac{4+3+2}{2}=6$

⇒ $r=frac{S}{P}=frac{6}{6}=1$

– Đường tròn tiếp xúc với cả hai trục toạ độ nên tâm I rai đồng tâm với O có toạ độ là I(1, 1)

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: $(x – 1)^2 + (y – 1)^2 = 1$

Ví dụ 2: Xác định phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC được tạo bởi 3 đường thẳng:

Đường thẳng $(a_1):4x-3y-65=0$

Đường thẳng $(a_2):7x-24y+55=0$

Đường thẳng $(a_3):3x+4y-5=0$

Lời giải:

– Cho ABC là tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài với các cạnh là:

AB: 4x – 3y – 65 = 0

BC: 7x – 24y + 55 = 0

CA: 3x + 4y – 5 = 0

– Ta tính được A (11;-7), B (23;9), C (-1;2)

– Ta có VTPT: ,

– Do tam giác vuông tại A nên

– Ta có độ dài các cạnh lần lượt là: AB = 20 ; BC = 25; CA = 15

– Diện tích tam giác ABC: SABC = 150

– Nửa chu vi là: $P=frac{20+25+15}{2}=30$

– Bán kính của đường tròn nội tiếp: $r=frac{S}{P}=frac{150}{30}=5$

– Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp là I(a, b) thì khoảng cách từ tâm I đến 3 đường thẳng đã cho sẽ bằng r = 5 nên ta có:

– Giải hệ trên ta thu được: a = 10 và b = 0;

⇒ Phương trình đường tròn của đề bài là: $(x-10)^2+y^2=25$

3. Bài tập luyện tập về phương trình đường tròn

Câu 1: Cho $4x^2 + 4y^2 – 4x + 8y – 59 = 0$ là phương trình của một đường tròn. Hãy xác định toạ độ của tâm cùng bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Giả sử tâm của đường tròn là I (a; b) cùng bán kính R, ta có:

$4x^2 + 4y^2 – 4x + 8y – 59 = 0$

⇔ $x^2 + ^y2 – x + 2y – frac{59}{4} = 0$

⇔ $x^2 – x + 14 + y^2 + 2y + 1 – 16 = 0$

⇔ $(x – 12)^2 + (y + 1)^2 = 16$

Vậy tâm của đường tròn có toạ độ là I(12; -1) với bán kính R = 4

Câu 2: Cho các phương trình dưới đây. Hãy xác định phương trình đường tròn nếu đó là đường tròn.

a) $x^2+y^2+2x-4y+9=0$

b) $2x^2+2y^2-8x-4y-6=0$

Lời giải:

a) Ta xét: $a^2 + b^2 – c = -4 < 0$ ⇒ Phương trình $x^2 + y^2 + 2x – 4y + 9 = 0$ không là phương trình đường tròn

Xem thêm : Thì quá khứ hoàn thành (Past perfect tense) – Công thức, dấu hiệu và bài tập

b) Ta xét: $a^2 + b^2 – c = 8$ ⇒ Phương trình $2x^2 + 2y^2 – 8x – 4y – 6 = 0$ là phương trình đường tròn với tâm I(27; -37) cùng bán kính $R = 2sqrt{frac{5}{7}}$

Câu 3: Với đường cong ($C_m$) có phương trình là $x^2+y^2-2mx-4(m-2)y+6-m=0$ (1)

a) Tìm điều kiện m để phương trình trên là phương trình đường tròn

b) Giả sử (1) là phương trình đường tròn thì hãy xác định toạ độ tâm cùng bán kính theo m

Lời giải:

a) Nếu phương trình (1) là phương trình đường tròn thì nó phải thoả mãn: $a^2 + b^2 – c > 0$ ⇒ $m^2 – 3m + 2 > 0$ ⇒

b) Với điều kiện của m ở trên thì ta có thể suy ra tâm đường tròn $I (m; 2(m – 2))$ cùng bán kính: $R = sqrt{m^2-3m+2}$

Câu 4: Hãy xác định phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp dưới đây:

a) Có tâm I(1; -5) và đi qua điểm O(0; 0)

b) Có đường kính AB: A (1; 1) và B (7; 5)

Lời giải:

a) Độ dài đường kính OI là: $OI =sqrt{1^2+5^2}=sqrt{26}$

Vậy phương trình của đường tròn © được biểu diễn như sau: $(x – 1)^2+ (y + 5)^2 = 26$

b) Đường tròn chúng ta cần tìm có tâm I làm trung điểm của đoạn AB ⇒ $I (4; 3) $

Độ dài đường kính là: $frac{AB}{2}=frac{2sqrt{13}}{2}=sqrt{13}$

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là: $(x – 4)^2 + (y – 3)^2 =13$

Câu 5: Hãy viết phương trình của đường tròn (C) với tâm I là (-1;2), đồng thời nó tiếp xúc với đường thẳng ($Delta $): $x+2y-8=0$

Lời giải: Ta có đường tròn (C) có tâm I với toạ độ là I (-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ($Delta $): $x + 2y – 8 = 0$ thì bán kính R bằng khoảng cách từ I đến đường thẳng ($Delta $).

Ta có: $R=d(I, Delta )=frac -1+4-8 right {sqrt{1^2+2^2}}=frac{5}{sqrt{5}}=sqrt{5}$

Vậy phương trình của đường tròn (C) được biểu diễn như sau: $(x+1)^2+(y-2)^2=5$

Câu 6: Với 2 đường thẳng: $q_1:3x+4y+5=0$ và $q_2:4x-3y-5=0$. Hãy tìm phương trình của đường tròn với tâm nằm ở đường thẳng $a:x-6y-10=0$ và nó tiếp xúc với 2 đường thẳng $q_1$, $q_2$.

Lời giải:

Đường tròn cần tìm có toạ độ tâm I nằm trên đường thẳng a ⇒ Toạ độ của tâm I là (6a + 10; a)

Vì đường tròn còn tiếp xúc với $q_1$, $q_2$ nên khoảng cách từ tâm I đến 2 đường thẳng là bằng nhau và chính là bán kính R

+) Với a = 0 ⇒ I (10; 0) cùng với R = 7 ⇒ phương trình đường tròn được biểu diễn như sau:(x – 10)2 + y2 = 49

+) Với $a=frac{-70}{33}$ ⇒ $I(frac{-30}{11}; frac{-70}{33})$ với $R=frac{97}{33}$

⇒ Phương trình của đường tròn là:

$(x+frac{30}{11})^2+(y+frac{70}{33})^2=(frac{97}{33})^2$

Câu 7: Cho toạ độ hai điểm A (8; 0) và B (0; 6). Hãy tìm phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Lời giải:

Diện tích của tam giác OAB là: $S=12.8.6=24$

Với cạnh huyền $AB=10$

Ta có nửa chu vi tam giác là $P=12$ ⇒ $r=S_p=2$

Do đường tròn này nội tiếp với cả hai trục toạ độ nên có tâm là J (r; r) = (2; 2)

Vậy phương trình của đường tròn nội tiếp tam giác OAB được biểu diễn như sau: $(x-2)^2+(y-2)^2=4$

Câu 8: Hãy xác định vị trí tương đối của đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0 và đường tròn © có phương trình là $x^2+y^2=3^2$

Lời giải:

Cho phương trình đường tròn $x^2+y^2=3^2$ với tâm I(0;0) và bán kính R = 3

Xét đường thẳng d’: 3x + 5y – 1 = 0

Khoảng cách từ điểm I đến d’: $d(I, d’) = frac -1+4-8 right {sqrt{3^2+5^2}}=frac -5 right {sqrt{9+25}}=frac{5}{sqrt{34}}$

⇒ Đường thẳng d’ tiếp xúc với đường tròn © tại 1 điểm duy nhất

Câu 9: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn © tại điểm M (3; 4) biết phương trình của đường tròn là $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 8$

Lời giải:

Phương trình đường tròn © có tâm I(a;b) là (1;2) và bán kính R = 8

Vậy phương trình tiếp tuyến đường tròn © tại điểm M (3; 4) là:

$(3 -1)(x – 3) + (4 – 2)(y – 4) = 0$

⇔ $3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0$

⇔ $3x – 9 – x + 3 + 4y – 16 – 2y + 8 = 0$

⇔ $2x + 2y – 14 =0$

⇔ $x + y – 7 = 0$

Câu 10: Xác định phương trình của đường tròn © với điều kiện © đi qua 3 điểm A (1; 2), B (5; 2) và C (1; -3)

Lời giải:

Cho ABC là tam giác với các điểm đó là A(1; 2), B(5; 2) và C(1; -3)

– Ta có: $S_{Delta ABC}=frac{1}{2}BC.ED=6.4=24$

Vậy phương trình đường tròn © được biểu diễn dưới dạng: $(x-3)^2+(y+12)^2=340$

Phương trình đường tròn là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10. VUIHOC hy vọng rằng bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về lý thuyết và cách giải các bài tập liên quan đến phương trình đường tròn. Để tìm hiểu thêm về Toán học lớp 10 và các môn khác, các em có thể truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký khóa học với các giáo viên VUIHOC ngay bây giờ!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục