Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Phương trình lượng giác cơ bản là kiến thức quan trọng mà học sinh cần nắm vững trong chương trình Toán lớp 11. Đây là cơ sở cần thiết để giải quyết nhanh và chính xác các bài toán phương trình lượng giác khác nhau. Trong bài viết này, Marathon Education sẽ cung cấp cho bạn một số kiến thức về lý thuyết cũng như cách giải phương trình lượng giác cơ bản.

>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức Lượng Giác Đầy Đủ Nhất

Bạn đang xem: Phương trình lượng giác cơ bản và các dạng bài tập có lời giải

Các phương trình lượng giác cơ bản

Phương trình sin x = sin α, sin x = a (1)

• Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm
• Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho sinα=a. Khi đó (1)

Các trường hợp đặc biệt:

• sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
• sin x =1 ⇔ x = π/2 + k2π (k ∈ Z)
• sin x = -1 ⇔ x = -π/2 + k2π (k ∈ Z)
• sin x = ±1 ⇔ sin x = 1 ⇔ cos x = 0 ⇔ cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cos x = cos α, cos x = a (2)

• Nếu |a|>1 thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu |a|≤1 thì chọn cung α sao cho cosα = a.

Khi đó (2) ⇔ cosx = cosα ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)

b. cosx = a điều kiện -1 ≤ a ≤ 1

cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k2π (k ∈ Z)

c. cosu = cosv ⇔ cosu = cos( π – v)

d. cosu = sinv ⇔ cosu = cos(π/2 – v)

e. cosu = – sinv ⇔ cosu = cos(π/2 + v)

Các trường hợp đặc biệt

Phương trình tan x = tan α, tan x = a (3)

Chọn cung α sao cho tanα=a. Khi đó (3)

Các trường hợp đặc biệt

• tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ Z)
• tanx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình cot x = cot α, cot x = a (4)

Khi đó (3) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ (k ∈ Z)

cotx = a ⇔ x = arccota + kπ (k ∈ Z)

Các trường hợp đặc biệt:

• cotx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ (k ∈ Z)
• cotx = ±1 ⇔ x = ± π/4 + kπ (k ∈ Z)

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Dạng asinx + b; acosx + b = 0; atanx + b = 0; acotx+ b = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Cách giải:

Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng asin x + bsinx + c = 0 (a, b ∈ Ζ, a ≠ 0)

Phương pháp

Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai đối với t.

Ví dụ: Giải phương trình asin x + bsinx + c = 0

Đặt t = sinx (-1≤ t ≤1) ta có phương trình at + bt + c = 0

Lưu ý khi đặt t = sinx hoặc t = cosx thì phải có điều kiện -1≤ t ≤1

Một số điều cần chú ý

1. a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn

bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định

b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách

sau để kiểm tra điều kiện:

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Nghị luận về ngôn ngữ giao tiếp của học sinh hiện nay 2 Dàn ý & 11 bài văn mẫu lớp 12 hay nhất

Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

Dùng đường tròn lượng giác để biểu diễn nghiệm

Giải các phương trình vô định.

c) Sử dụng MTCT để thử lại các đáp án trắc nghiệm

Các dạng bài tập về phương trình lượng giác

Giải phương trình lượng giác cơ bản

Phương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

1. a) sinx = sin(π/6). c) tanx – 1 = 0
2. b) 2cosx = 1. d) cotx = tan2x.

Lời giải

1. a) sinx = sinπ/6

1. b) 2cosx = 1 ⇔ cosx = ½ ⇔ x = ± π/3 + k2π (k ∈ Z)
2. c) tanx = 1 ⇔ cosx = π/4 + kπ (k ∈ Z)
3. d) cotx = tan2x

⇔cotx = cot(π/2 – 2x)

⇔ x = π/2 – 2x + kπ

⇔ x = π/6 + kπ/3 (k ∈ Z)

Ví dụ 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

1. a) cos2 x – sin2x =0.
2. b) 2sin(2x – 40º) = √3

Lời giải

1. a) cos x – sin x=0 ⇔ cos x – 2sinx.cosx = 0

⇔ cosx (cosx – 2sinx )=0

b) 2 sin(2x-40º )=√3

⇔ sin(2x-40º )=√3/2

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau: (√3-1)sinx = 2sin2x.

Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔ sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Phương trình bậc hai có một hàm lượng giác

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

a.f (x) + b.f(x) + c = 0 với f(x) = sinu(x) hoặc f(x) = cosu(x), tanu(x), cotu(x).

Cách giải:

Đặt t = f(x) ta có phương trình : at + bt +c = 0

Giải phương trình này ta tìm được t, từ đó tìm được x

Khi đặt t = sinu(x) hoặc t = cosu(x), ta có điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1

Xem thêm : Văn mẫu lớp 10: Nghị luận về hiện tượng lười học của học sinh hiện nay Những bài văn hay lớp 10

Ví dụ: sin x +2sinx – 3 = 0

Ví dụ 2: 1 + sin2x + cosx + sinx = 0

Lời giải:

⇔ 1 + 2 sinx cosx + 2(cosx+sinx ) = 0

⇔ cos2x + sin2x + 2 sinxcosx + 2 (cosx+sinx )=0

⇔ (sinx + cosx)2 + 2 (cosx+sinx )=0

Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Ví dụ: Giải phương trình sau: cos x – sin2x = 0.

Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (4) ta có được phương trình bậc hai theo t.

Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 2(sinx + cosx) + 3sin2x = 2.

>>> Xem thêm: Một Số Phương Trình Lượng Giác Thường Gặp – Lý thuyết Toán 11

Tham khảo ngay các khoá học trực tuyến của Marathon Education

Lý thuyết cũng như cách giải phương trình lượng giác cơ bản đã được Team Marathon Education tổng hợp và chia sẻ ở trên. Mong rằng những kiến thức hữu ích này sẽ giúp bạn có thêm những kiến thức cần thiết để tiếp tục hành trình chinh phục môn Toán học. Chúc bạn học tốt và đạt được nhiều thành tích cao!

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu bạn có nhu cầu học trực tuyến online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc bạn đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục