Lý Thuyết Quy Tắc Đếm – Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

Nguyên tắc đếm là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán cấp 3. Đội ngũ Giáo dục Marathon đã tổng hợp các lý thuyết về nguyên tắc đếm cùng với các bài tập tương ứng để giúp bạn hiểu sâu hơn về vấn đề này thông qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Hoán Vị, Chỉnh Hợp, Tổ Hợp – Lý Thuyết Toán 11 Và Bài Tập Áp Dụng

Bạn đang xem: Lý Thuyết Quy Tắc Đếm – Toán 11 Và Bài Tập Vận Dụng

>>> Xem thêm: Các Dạng Bài Tập và Cách Giải Bất Phương Trình Toán Lớp 10

>>> Xem thêm: Học Online Toán 11 Tiến Bộ Điểm Số Với Giáo dục Marathon

Các nguyên tắc đếm cơ bản

Nguyên tắc cộng

Nguyên tắc cộng được hiểu như sau: Có k lựa chọn: B1, B2, B3, …, Bk để thực hiện công việc

Trong đó:

• Có n1 cách thực hiện theo lựa chọn B1
• Có n2 cách thực hiện theo lựa chọn B2
• Có n3 cách thực hiện theo lựa chọn B3

…

• Có nk cách thực hiện theo lựa chọn Bk

Trong trường hợp này, số cách để thực hiện công việc sẽ là: n1 + n2 + n3 + … + nk (cách)

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không có phần tử chung, thì số phần tử của A ∪ B bằng tổng số phần tử của A và B, tức là: |A ∪ B| = |A| + |B|

Ví dụ: Khi đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng, bạn có thể đi bằng xe khách, máy bay và tàu lửa. Có 10 chuyến xe khách, 2 chuyến tàu lửa và 1 chuyến máy bay đến Đà Nẵng. Hãy tìm số cách để đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng.

Hướng dẫn:

Bạn có 10 cách đi bằng xe khách.

Bạn có 2 cách đi bằng tàu lửa.

Xem thêm : Bachelor là gì? Ý nghĩa của Bachelor trong tiếng Anh

Bạn có 1 cách đi bằng máy bay.

Vậy có tổng cộng 10 + 2 + 1 = 13 cách để đi từ TP. Hồ Chí Minh đến Đà Nẵng.

>>> Xem thêm: Phép Thử và Biến Cố – Lý Thuyết Toán 11 và Bài Tập Áp Dụng

Nguyên tắc nhân

Nguyên tắc nhân được hiểu như sau: Có k bước công việc B1, B2, B3, …, Bk cần thực hiện

Trong đó:

• Có n1 cách thực hiện bước công việc B1
• Có n2 cách thực hiện bước công việc B2
• Có n3 cách thực hiện bước công việc B3

…

• Có nk cách thực hiện bước công việc Bk

Trong trường hợp này, số cách thực hiện công việc sẽ là: n1.n2.n3…nk (cách)

Ví dụ: Vy muốn đặt mật khẩu điện thoại gồm 4 chữ số. Chữ số đầu tiên có thể là một trong 4 số 1, 2, 3, 4. Chữ số thứ hai có thể là một trong 3 số 5, 6, 7. Chữ số thứ ba có thể là một trong 4 số 7, 8, 9, 0. Chữ số thứ tư có thể là một trong 3 số 0, 1, 2. Hỏi có bao nhiêu cách để Vy đặt mật khẩu điện thoại?

Hướng dẫn:

Bạn có 4 cách để chọn chữ số đầu tiên.

Bạn có 3 cách để chọn chữ số thứ hai.

Bạn có 4 cách để chọn chữ số thứ ba.

Bạn có 3 cách để chọn chữ số thứ tư.

Xem thêm : Subheading là gì? Tầm quan trọng của Subheading trong SEO

Vậy có tổng cộng 4.3.4.3 = 144 cách để Vy đặt mật khẩu điện thoại.

Nguyên tắc bù trừ

Nguyên tắc bù trừ được thực hiện như sau: Đếm những phần tử dễ đếm để suy ra phần tử khó đếm. Các đặc điểm của bài toán cần sử dụng nguyên tắc bù trừ là khi đề bài xuất hiện các cụm từ như: có ít nhất, ít nhất, có nhiều nhất, luôn có,…

Ví dụ: Trong một ngôi làng có 50 thanh niên. Yêu cầu chọn ra 4 người từ 50 người này để tham gia một lễ hội trong làng. Khi đó, số cách để chọn ra 4 người để tham gia lễ hội sẽ bằng với số cách chọn ra 46 người không tham gia lễ hội. Vì nếu 46 người không được chọn, thì 4 người còn lại là những người được chọn để tham gia lễ hội trong làng.

Bài tập áp dụng về nguyên tắc đếm

Để có cái nhìn tổng quan về nguyên tắc đếm và cách áp dụng các nguyên tắc này trong giải bài tập, bạn có thể tham khảo các ví dụ sau:

Bài tập 1

Trong kỳ thi THPTQG 2016, trường Lê Hồng Phong đã có kết quả thi xuất sắc nên được quyền chọn 1 học sinh tham dự trại hè quốc tế. Nhà trường quyết định chọn 1 học sinh có điểm thi từ 28,5 trở lên từ các lớp 12A1, 12A2 hoặc 12A3. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn. Biết rằng, lớp 12A1 có 5 học sinh đạt từ 28,5 trở lên, lớp 12A2 có 4 học sinh và lớp 12A3 có 3 học sinh đạt từ 18,5 trở lên.

Lời giải: Để chọn 1 học sinh có điểm từ 28,5 trở lên tham dự trại hè, chúng ta có các cách chọn như sau:

• Có 5 cách chọn trong lớp 12A1
• Có 4 cách chọn trong lớp 12A2
• Có 3 cách chọn trong lớp 12A3

Do đó, tổng cộng có 5 + 4 + 3 = 12 (cách chọn)

Bài tập 2

Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Từ các phần tử của A, bạn có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi và khác nhau.

Lời giải: Giả sử số cần tạo là abcd.

Để tạo số tự nhiên này, chúng ta có 4 bước như sau:

• Bước 1: Chọn d là số chẵn với 4 cách chọn (chọn 1 trong 4 chữ số: 2, 4, 6, 8)
• Bước 2: Chọn a với 8 cách chọn (chọn 1 trong 8 chữ số còn lại trừ chữ số d đã chọn trước đó)
• Bước 3: Chọn b với 7 cách chọn (trừ đi cách chọn của a và d)
• Bước 4: Chọn c với 6 cách chọn (khác a, b và d)

Theo nguyên tắc nhân, chúng ta có: 4.8.7.6 = 1344 cách chọn.

>>> Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Và Cách Giải Nhanh, Chính Xác Nhất

Hãy nhanh tay tham gia các khóa học trực tuyến của Giáo dục Marathon ngay hôm nay

Trên đây là tổng hợp kiến thức về nguyên tắc đếm và các ví dụ minh hoạ giúp bạn hiểu rõ hơn về nguyên tắc và các điều kiện áp dụng trong từng dạng bài cụ thể. Hy vọng những kiến thức này sẽ thực sự hữu ích và hỗ trợ nhiều cho bạn trong quá trình học và làm bài tập. Đừng quên đăng ký khóa học tại Giáo dục Marathon ngay để được học trực tuyến và ôn luyện Toán – Lý – Hoá một cách toàn diện cùng các giáo viên chất lượng cao.

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục