Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số: Phân dạng và cách giải

Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số xuất hiện khá thường xuyên trong các đề thi toán học. Với nhiều mức độ, nhiều dạng khác nhau. Hiểu được sự khó khăn của học sinh khi bắt đầu tiếp xúc với các dạng bài này, bài học hôm nay VerbaLearn sẽ tổng hợp lại chi tiết các dạng toán và kiến thức liên quan đến GTLN, GTNN trong toán học và đặc biệt là chương trình toán lớp 12.

Lý thuyết

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

Bạn đang xem: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số: Phân dạng và cách giải

+) Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.

Kí hiệu:

+) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M.

Kí hiệu:

⟹ Sơ đồ hệ thống hóa giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Phân dạng bài tập

Thông thường đối với các bài giảng về giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất chỉ có cơ bản vài dạng bài tập. Tuy nhiên đối với một bài viết tổng quan về chuyên đề như này thì VerbaLearn chia thành 13 dạng từ cơ bản, vận dụng cho đến vận dụng cao. Nếu các dạng bài tập quá dài bạn đọc có thể tải các tài liệu về để xem một cách dễ dàng hơn.

Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên một khoảng

Phương pháp giải

Ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1. Tìm tập xác định (nếu đề chưa cho khoảng)
• Bước 2. Tính y’ = f’(x); tìm các điểm mà đạo hàm bằng không hoặc không xác định.
• Bước 3. Lập bảng biến thiên
• Bước 4. Kết luận

Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay để giải theo các bước như sau:

Bước 1. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên miền (a;b) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 lập bảng giá trị)

Bước 2. Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max, giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min.

– Ta thiết lập miền giá trị của biến x Start a End b Step (có thể làm tròn để Step đẹp).

Chú ý: Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác sinx, cosx, tanx… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D. Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tập xác định D = ℝ

Ta có f’(x) = -2×5 + 2×4 – x + 1 = – (x – 1)(2×4 + 1)

Khi đó f’(x) = 0 ⇔ – (x – 1)(2×4 + 1) = 0 ⇔ x = 1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1

Câu 2. Gọi a là giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng (-∞; 1). Khi đó giá trị của biểu thức bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Hàm số liên tục trên khoảng (-∞; 1)

Ta có

Khi đó f’(x) = 0 ⇔ 8×2 – 12x – 8 = 0 ⇔

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

Câu 3. Cho hàm số . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A.

B.

C.

D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tập xác định D = ℝ

Ta có

Do đó y’ = 0 ⇔ 2×2 – 2 = 0 ⇔ x = ±1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy tại x = 1

Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Phương pháp giải

• Bước 1. Tính f’(x)
• Bước 2. Tìm các điểm xi ∈ (a;b) mà tại đó f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định
• Bước 3. Tính f(a), f(xi), f(b)
• Bước 4. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Khi đó và

Chú ý:

– Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] thì

– Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a;b] thì

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số . Giá trị của bằng

A. 16

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có ; do đó hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-∞; 1); (1; +∞)

⇒ Hàm số nghịch biến trên [2; 3].

Do đó

Vậy

Câu 2. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số . Giá trị của biểu thức P = M + m bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định D = [-2; 2]

Ta có , x ∈ (-2; 2)

y’ = 0 ⇔

Vậy

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2×3 – 3×2 + m trên đoạn [0; 5] bằng 5 khi m bằng

A. 6

B. 10

C. 7

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Hàm số xác định và liên tục trên D = [0; 5]

Ta có y’ = 0 ⇔ 6×2 – 6x = 0 ⇔

f (0) = m; f (1) = m – 1; f (5) = 175 + m

Dễ thấy f (5) > f (0) > f (1), ∀ m ∈ ℝ nên

Theo đề bài ⇔ m – 1 = 5 ⇔ m = 6

Câu 4. Gọi A, B là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [2; 3]. Tất cả các giá trị thực của tham số m để là

A. m = 1; m = -2

B. m = -2

C. m = ±2

D. m = -1; m = 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Hàm số đã cho liên tục trên đoạn [2; 3]

Ta có

Do đó

⇔ 3m2 + m – 6 = 0 ⇔

Câu 5. Biết hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(2m – 1) x + 1 (với m là tham số) trên đoạn [-2; 0] đạt giá trị lớn nhất bằng 6. Các giá trị của tham số m là

A. m = 1

B. m = 0

C. m = 3

D. m = -1

Hướng dẫn giải

Chọn D

y’ = 0 ⇔

Vì y(-2) = -1; y(0) = 1 và theo bài ra nên giá trị lớn nhất không đạt tại x = -2; x = 0.

Do đó giá trị lớn nhất đạt tại y(-1) hoặc y(1 – 2m).

Ta có y(-1) = -3m + 3; y(1 – 2m) = (1 – 2m)2(m – 2) + 1

Trường hợp 1: Xét -3m + 3 = 6 ⇔ m = -1

Thử lại với m = -1, ta có y’ = 0 ⇔ nên m = -1 là một giá trị cần tìm.

Trường hợp 2: Xét

Vì ⇒ m – 2 < 0 ⇒ (1 – 2m)2(m – 2) < 0 nên (1) vô nghiệm

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [a; b]

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

– Bước 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử thứ tự là M, m.

– Bước 2.

+) Tìm

+) Tìm

Trường hợp 1: M․m < 0 ⇒ = 0

Trường hợp 1: m ≥ 0 ⇒ = m

Trường hợp 1: M ≤ 0 ⇒ = |M| = -M

– Bước 3. Kết luận.

* Tìm tham số để GTLN của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [α, β] bằng k. Thực hiện theo các bước sau:

– Bước 1. Tìm

– Bước 2. Xét các trường hợp

+) |A| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó

+) |B| = k tìm m, thử lại các giá trị m đó

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9×2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng

A. 48

B. 52

C. -102

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Bảng biến thiên của hàm số y = x3 – 9×2 + 24x – 68 trên đoạn [-1; 4]

Suy ra bảng biến thiên của hàm số y = |x3 – 9×2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] là

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |x3 – 9×2 + 24x – 68| trên đoạn [-1; 4] bằng 48.

Cách khác: Theo trường hợp 3 thì M = -48 < 0 ⇒ min y = 48

Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [1; 2] bằng 2.

Số phần tử của tập S là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét hàm số

Ta có

Mặt khác

Do đó

– Trường hợp 1:

+) Với (loại)

+) Với (thỏa mãn)

– Trường hợp 2:

+) Với (thỏa mãn)

+) Với (loại)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Câu 3. Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |¼ x4 – 14×2 + 48x + m – 30| trên đoạn [0; 2] không vượt quá 30. Tổng các phần tử của S bằng

A. 108

B. 120

C. 210

D. 136

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét hàm số g(x) = ¼ x4 – 14×2 + 48x + m – 30 trên đoạn [0; 2]

Ta có g’(x) = x3 – 28x + 48 ⇒ g’(x) = 0 ⇔

Để

⇒ m ∈ {0; 1; 2; …; 15; 16}

Tổng các phần tử của S là 136.

Câu 4. Biết giá trị lớn nhất của hàm số bằng 18.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 0 < m < 5

B. 10 < m < 15

C. 5 < m < 10

D. 15 < m < 20

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét hàm số liên tục trên tập xác định [-2; 2]

Ta có

Do đó khi x = -2, suy ra giá trị lớn nhất của hàm số bằng

Theo bài ra = 18 ⇔ m = 15,5. Vậy 15 < m < 20

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN

Phương pháp giải

Thực hiện các bước sau

– Bước 1. Tìm

– Bước 2. Gọi M là giá trị lớn nhất của số y = |f(x) + g(m)| thì

M = max≥

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi |α + g(m)| = |β + g(m)|

Áp dụng bất đẳng thức

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [α + g(m)]․[β + g(m)] ≥ 0

– Bước 3. Kết luận khi

Bài tập vận dụng

Câu 1. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |x2 + 2x + m – 4| trên đoạn [-2; 1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt f(x) = x2 + 2x

Ta có f’(x) = 2x + 2

f’(x) = 0 ⇔ x = -1 ∈ [-2; 1]

f (-2) = 0; f (1) = 3; f (-1) = -1

Do đó

Suy ra

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

⇒ m = 3 (thỏa mãn)

Câu 2. Để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định D = [0; 2]

Đặt , x ∈ D

Ta có ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x = 1

f (0) = 0; f (2) = 0; f (1) = 1

Suy ra

Dấu bằng xảy ra ⇔ (thỏa mãn)

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x, m) = |x2 – 2x + 5| + mx đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 2

B. 5

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có min f (x, m) ≤ f (0, m) = 5, ∀ m ∈ ℝ

Xét m = 2 ta có f (x, 2) = |x2 – 2x + 5| + 2x ≥ x2 – 2x + 5 + 2x ≥ 5, ∀ x ∈ ℝ

Dấu bằng xảy ra tại x = 0. Suy ra min f (x, 2) = 5, ∀ x ∈ ℝ

Do đó ⇒ max (min f (x, m)) = 5, đạt được khi m = 2

Tổng quát: y = |ax2 + bx + c| + mx

Trường hợp 1: a․c > 0 ⇒ max (miny) = c

Đạt được khi m = -b

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x, m) = |x2 – 4x – 7| đạt giá trị lớn nhất bằng

A. 7

B. -7

C. 0

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình x2 – 4x – 7 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2

– Trường hợp 1: Nếu m ≥ 0

Ta có min f (x, m) ≤ f (x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀ m ∈ ℝ

Xét m = 0 ta có f (x, 0) = |x2 – 4x – 7| ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ

Dấu bằng xảy ra tại x = x1, 2. Suy ra min f (x, m) = 0, ∀ x ∈ ℝ

Do đó ⇒ max (min f (x, m)) = 0, đạt được khi m = 0

Xem thêm : Văn mẫu lớp 8: Thuyết minh về thể thơ lục bát Dàn ý & 9 bài văn thuyết minh lớp 8 hay

– Trường hợp 2: Nếu m < 0

Ta có min f (x, m) ≤ f (x2, m) = mx2 < 0, ∀ m ∈ ℝ ⇒ max (min f (x, m)) < 0

So sánh cả hai trường hợp thì max (min f (x, m)) = 0 khi m = 0

Trường hợp 2: a․c < 0 ⇒ max (miny) = 0

Đạt được khi m = 0

Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc bảng biến thiên

Câu 1. Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình bên dưới

Biết f (-4) > f (8), khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên ℝ bằng

A. 9

B. f (-4)

C. f (8)

D. -4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Từ bảng biến thiên ta có f(x) ≥ f (-4) ∀ m ∈ (-∞; 0] và f(x) ≥ f (8), ∀ m ∈ (0; +∞)

Mặt khác f (-4) > f (8) suy ra x ∈ (-∞; +∞) thì f(x) ≥ f (8)

Vậy

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp và có bảng biến thiên như sau

Khẳng định đúng là

A. ; không tồn tại

B. ;

C. ;

D. ; không tồn tại

Hướng dẫn giải

Chọn B

Dựa vào bảng biến thiên thì

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1; 3]. Giá trị của M – m bằng

A. 1

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Chọn D

Dựa vào đồ thị suy ra

M = f (3) = 3; m = f (2) = -2

Vậy M – m = 5

Câu 4. Cho đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ

Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0. Khi đó giá trị của x02 – 2×0 + 2019 bằng bao nhiêu?

A. 2018

B. 2019

C. 2021

D. 2022

Hướng dẫn giải

Chọn B

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f’(x) ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng [1; 3] tại x0 = 2

Vậy x02 – 2×0 + 2019 = 2019

Dạng 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp giải

Ghi nhớ: Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu t = sinx ± cosx =

• Bước 1. Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ
• Bước 2. Giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số theo ẩn phụ
• Bước 3. Kết luận (Chọn đáp án)

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 2cos2x + 2sinx là

A. ; m = -4

B. M = 4; m = 0

C. M = 0;

D. M = 4;

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có y = 2cos2x + 2sinx = 2(1 – 2sin2x) + 2sinx = -4sin2x + 2sinx + 2

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1], ta được y = -4t2 + 2t +2

Ta có y’ = 0 ⇔ -8t + 2 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (-1; 1)

Vì nên ; m = -4

Câu 2. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

A.

B.

C.

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt t = |cosx| ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được với 0 ≤ t ≤ 1

Vì , ∀ t ∈ [0; 1] nên

Suy ra tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng

Câu 3. Giá trị lớn nhất M của hàm số là

A.

B. M = 3

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt t = cos2x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1, ta được với t ∈ [0; 1]

Ta có

Vì nên

Câu 4. Cho hàm số (với m là tham số thực). Giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi m bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét

Đặt t = sinx ⇒ -1 ≤ t ≤ 1, ta được với t ∈ [-1; 1]

Ta có

Vì nên

Hay

Mặt khác

Do đó

Dấu bằng đạt được khi

Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |1 + 2cosx| + |1 + 2sinx| bằng

A.

B.

C. 1

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có P2 = 6 + 4(sinx + cosx) + 2|1 + 2(sinx + cosx) + 4sinx․cosx|

Đặt t = sinx + cosx = với

Xét y = P2 = 6 + 4t + 2 |2t2 + 2t – 1| =

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra

Câu 6. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = sinx + cos2x trên đoạn [0; π] là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t = sinx ⇒ cos2x = 1 – 2sin2x = 1 – 2t2 , với x ∈ [0; π] ⇒ t ∈ [0; 1]

Ta được f(t) = -2t2 + t + 1 với t ∈ [0; 1]

Ta có f’(t) = -4t + 1 = 0 ⇔ t = ¼ ∈ (0; 1)

Do f (0) = 1; ; f (1) = 0 nên

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là

Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khác

Câu 1. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng

A.

B. -5

C.

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn A

Do

Đặt

Khi đó y = 4t3 + 6t – 1 với t ∈

Vì y’ = 12t2 + 6 > 0, ∀ t nên hàm số đồng biến trên

Do đó

Câu 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là

A. 2;

B. 4; 2

C. 4;

D. 4;

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định D = [1; 9]

Ta có ⇒ x = 5 ∈ (1; 9)

Vì y (1) = y (9) = ; y (5) = 4 nên max y = 4; min y = .

Nhận xét: với hàm số (-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì

Suy ra dấu bằng luôn xảy ra.

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

A.

B. -2

C. -4

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định của hàm số là D = [-1; 3]

Đặt

Do , ∀ x ∈ [-1; 3], từ đó suy ra -2 ≤ t ≤ 2

Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-2; 2].

Ta có g’(t) = t + 1 = 0 ⇔ t = -1 ∈ (-2; 2)

Lại có g (-2) = -2; g (2) = 2; g (-1) =

Suy ra giá trị nhỏ nhất bằng

Nhận xét: Với hàm số (-a ≤ x ≤ b; a + b ≥ 0) thì

Dạng 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến

Câu 1. Cho biểu thức với x2 + y2 ≠ 0. Giá trị nhỏ nhất của P bằng

A. 3

B.

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Nếu y = 0 thì P = 1 (1)

Nếu y ≠ 0 thì

Đặt , khi đó

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có P = f(t) ≥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra có P = f(t) ≥ ⇒ min P =

Câu 2. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y = 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức lần lượt là

A. và 1

B. 0 và 1

C. và 1

D. 1 và 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Đặt t = xy ta được

Vì x ≥ 0, y ≥ 0 ⇒ t ≥ 0

Mặt khác

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên

Xét hàm số xác định và liên tục trên

Ta có với ∀ t ∈

⇒ Hàm số g(t) nghịch biến trên đoạn

Do đó

Câu 3. Cho x, y là các số thực thỏa mãn (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A. 3

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

(x – 3)2 + (y – 1)2 = 5 ⇒ x2 + y2 – 6x – 2y + 5 = 0

Đặt t = x + 2y

(12 + 22)․[(x – 3)2 + (y – 1)2] ≥ [(x – 3) + (2y – 2)]2

Ta được

Xét

Vì f (0) = 4; f (10) = ; f (1) = 3 ⇒ min P = 3 khi t = 1.

Câu 4. Gọi x0, y0, z0 là ba số thực dương sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Tổng x0 + y0 + z0 bằng

A. 3

B. 1

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Đặt x + y + x = t. Khi đó

Ta có

Bảng biến thiên

Suy ra . Dấu “=” xảy ra

Do đó

Câu 5. Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = 3x2y – xy2 – 2×3 + 2x bằng

A. 8

B. 0

C. 12

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn B

Với điều kiện bài toán x, y > 0 và x2 – xy + 3 = 0

Lại có

Từ đó

Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên

⇒ f (1) ≤ f(x) ≤ ⇒ -4 ≤ f(x) ≤ 4 ⇒ max P + min P = 4 + (-4) = 0

Câu 6. Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 9] và x ≥ y, x ≥ z. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng

A.

B.

C.

D. 1

Hướng dẫn giải

Chọn C

Thật vậy đúng do ab ≥ 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1.

Áp dụng bất đẳng thức trên

Đặt . Xét hàm số trên đoạn [1; 3]

f’(t) = 0 ⇔ t4 – 2t3 – 24t2 – 2t + 100 = 0

⇔ (t – 2)(t3 – 24t – 50) = 0 ⇔ t = 2 do t3 – 24t – 50 < 0, ∀ x ∈ [1; 3]

Bảng biến thiên

Suy ra khi và chỉ khi

Dạng 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x).

Phương pháp

Thực hiện theo một trong hai cách

Cách 1:

Xem thêm : Spend là gì? Các cách dùng cấu trúc Spend chi tiết trong tiếng Anh!

Bước 1. Đặt t = u(x).

Đánh giá giá trị của t trên khoảng K.

Chú ý: Có thể sử dụng khảo sát hàm số, bất đẳng thức để đánh giá giá trị của t = u(x).

– Bước 2. Từ bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số cho ta giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t).

– Bước 3. Kết luận.

Cách 2:

– Bước 1. Tính đạo hàm y’ = u’(x)․f’(u(x)).

– Bước 2. Tìm nghiệm y’ = u’(x)․f’(u(x)) = 0

– Bước 3. Lập bảng biến thiên

– Bước 4. Kết luận về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x), y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)…

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số y = f (|x – 1|) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; 2] bằng

A. f (-2)

B. f (2)

C. f (1)

D. f (0)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t =|x – 1|, ∀ x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [0; 1]

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất

Câu 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ sau. Khi đó hàm số y = f (2 – x2) đạt giá trị nhỏ nhất trên bằng

A. f (-2)

B. f (2)

C. f (1)

D. f (0)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt t = 2 – x2. Từ x ∈ ⇔ 0 ≤ x2 ≤ 2 ⇔ 2 ≥ 2 – x2 ≥ 0 ⇒ t ∈ [0; 2]

Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) có giá trị nhỏ nhất

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) = ax4 + bx2 + c xác định và liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x + 3) trên đoạn [0; 2] là

A. 64

B. 65

C. 66

D. 67

Hướng dẫn giải

Chọn C

Hàm số có dạng f(x) = ax4 + bx2 + c. Từ bảng biến thiên ta có

⇒ f(x) = x4 – 2×2 + 3

Đặt t = x + 3, x ∈ [0; 2] ⇒ t ∈ [3; 5]

Dựa vào đồ thị, hàm số y = f(t) đồng biến trên đoạn [3;5].

Do đó

Dạng 10. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(u(x)), y = f(u(x)) ± h(x)… Khi biết đồ thị của hàm số y = f’(x)

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên ℝ. Biết rằng đồ thị hàm số y = f’(x) như dưới đây.

Lập hàm số g(x) = f(x) – x2 – x.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. g(-1) > g(1)

B. g(-1) = g(1)

C. g(1) = g(2)

D. g(1) > g(2)

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có g’(x) = f’(x) – 2x – 1

Từ đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 ta có g’(x) = 0

⇔ f’(x) = 2x + 1 ⇒

Bảng biến thiên

Ta chỉ cần so sánh trên đoạn [-1; 2]. Đường thẳng y = 2x + 1 là đường thẳng đi qua các điểm A(-1; -1), B(1; 3), C(2; 5) nên đồ thị hàm số y = f’(x) và đường thẳng y = 2x + 1 cắt nhau tại 3 điểm.

Dạng 11. Ứng dụng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các bài toán thực tế

Câu 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 3t2 – t3. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc v (m/s) của chất điểm chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

A. t = 2s

B. t = 5s

C. t = 1s

D. t =3s

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có v(t) = s’(t) = 6t – 3t2 ⇒ v(t) = -3(t – 1)2 + 3 ≤ 3, ∀ t ∈ ℝ

Giá trị lớn nhất của v(t) = 3 khi t = 1.

Câu 2. Một vật chuyển động theo quy luật s = -⅓t3 + 6t2 với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 7 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 180 (m/s)

B. 36 (m/s)

C. 144 (m/s)

D. 24 (m/s)

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có v(t) = s’(t) = -t2 + 12t

v’(t) = -2t + 12 = 0 ⇔ t = 6

Vì v (6) = 36; v (0) = 0; v (7) = 35 nên vận tốc lớn nhất đạt được bằng 36 (m/s).

Câu 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức (mg/L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ

B. 1 giờ

C. 3 giờ

D. 2 giờ

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét hàm số (t > 0)

Bảng biến thiên

Với t = 1 (giờ) thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Câu 4. Người ta xây một bể chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng m3. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000 đồng/ m2. Hãy xác định kích thước của bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là:

A. 75 triệu đồng

B. 85 triệu đồng

C. 90 triệu đồng

D. 95 triệu đồng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi x (m) là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là 2x (m) và h (m) là chiều cao bể

Bể có thể tích bằng

Diện tích cần xây

Xét hàm

Bảng biến thiên

Do đó

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin = 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là 150 × 600.000 = 90.000.000 đồng.

Câu 5. Bác Hoàng có một tấm thép mỏng hình tròn, tâm O, bán kính 4 dm. Bác định cắt ra một hình quạt tròn tâm O, quấn rồi hàn ghép hai mép của hình quạt tròn lại để tạo thành một đồ vật dạng mặt nón tròn xoay (tham khảo hình vẽ). Dung tích lớn nhất có thể của đồ vật mà bác Hoàng tạo ra bằng bao nhiêu? (bỏ qua phần mối hàn và độ dày của tấm thép)

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Khi hàn hai mép của hình quạt tròn, độ dài đường sinh của hình nón bằng bán kính của hình quạt tròn, tức là OA = 4dm

Thể tích của hình nón với 0 < h < 4

Ta có

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra thể tích lớn nhất của hình nón là

Câu 6. Người ta làm chiếc thùng phi dạng hình trụ, kín hai đáy, với thể tích theo yêu cầu là 2πm3. Hỏi bán kính đáy R và chiều cao h của thùng phi bằng bao nhiêu để khi làm thì tiết kiệm vật liệu nhất

A. ; h = 8m

B. R = 1m; h = 2m

C. R = 2m;

D. R = 4m;

Hướng dẫn giải

Chọn B

Từ giả thiết ta có

Diện tích toàn phần của thùng phi là

Xét hàm số với R ∈ (0; +∞)

Ta có

f’(R) = 0 ⇔ R = 1

Bảng biến thiên

Suy ra diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất khi R = 1 ⇒ h = 2

Vậy để tiết kiệm vật liệu nhất khi làm thùng phi thì R = 1m; h = 2m

Câu 7. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 120 triệu đồng

B. 164,92 triệu đồng

C. 114,64 triệu đồng

D. 106,25 triệu đồng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi M là điểm trên đoạn thẳng AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nối với điểm C

Đặt AM = x ⇒ BM = 4 – x ⇒ , x ∈ [0; 4]

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là (đơn vị: triệu đồng)

Ta có

Do đó chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc là 114,64 triệu đồng.

Dạng 12. Tìm m để F(x; m) = 0 có nghiệm trên tập D

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

– Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng f(x) = g(m)

– Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D

– Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A(m) sao cho đường thẳng y = g(m) cắt đồ thị hàm số y = f(x)

– Bước 4. Kết luận

Chú ý:

+) Nếu hàm số y = f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D thì phương trình f(x) = g(m) có nghiệm khi và chỉ khi

+) Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta chỉ cần dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện sao cho đường thẳng y = g(m) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại k điểm phân biệt.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m trong đoạn [-100; 100] để phương trình có nghiệm thực?

A. 100

B. 101

C. 102

D. 103

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện x ≥ -1

Đặt

Ta được phương trình 2t = t2 – 1 + m ⇔ m = -t2 + 2t + 1

Xét hàm số f(t) = -t2 + 2t + 1, t ≥ 0

f’(t) = -2t + 2 = 0 ⇔ t = 1

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi m ≤ 2 ⇒ -100 ≤ m ≤ 2

Vậy có 103 giá trị nguyên m thỏa mãn

Câu 2. Cho phương trình (m là tham số). Biết rằng tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn là đoạn [a; b]. Giá trị của biểu thức T = -a + 2b là

A .T = 4

B.

C. T = 3

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

Xét hàm số trên đoạn

Vì nên t ∈ [1; 3]

Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình m(t + 1) = t2 – 2 có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] ⇔ có nghiệm thuộc đoạn [1; 3] (1)

Xét hàm số trên đoạn [1; 3]

, ∀ t ∈ [1; 3] khi hàm số đồng biến trên đoạn [1; 3]

Để phương trình (1) đã cho có nghiệm thì

Vậy ⇒ T = 4

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của tham số m để hệ phương trình (x, y ∈ ℝ) có nghiệm là m0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. m0 ∈ (-20; -15)

B. m0 ∈ (-12; -8)

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Từ (1) suy ra y = 2 – x thay vào (2) ta được (2) ⇒ x4 + (2 – x)4 = m (3)

Xét hàm số f(x) = x4 + (2 – x)4 có tập xác định D = ℝ

f’(x) = 4×3 – 4(2 – x)3 ⇒ f’(x) = 0 ⇔ x3 = (2 – x)3 ⇔ x = 2 – x ⇔ x = 1

Bảng biến thiên

Hệ đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm thực

Dựa vào bảng biến thiên ta được m ≥ 2 ⇒ m0 = 2 ⇒

Dạng 13. Tìm m để bất phương trình F(x; m) > 0; F(x; m) ≥ 0; F(x; m) < 0; F(x; m) ≤ 0 có nghiệm trên tập D.

Phương pháp giải

Thực hiện theo các bước sau

• Bước 1. Cô lập tham số m và đưa về dạng g(m) > f(x) hoặc g(m) ≥ f(x) hoặc g(m) < f(x) hoặc g(m) ≤ f(x)
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D
• Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên xác định các giá trị của tham số m
• Bước 4. Kết luận

Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục và có giá trị lớn nhất; giá trị nhỏ nhất trên D thì

+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≤ max f(x)

+) Bất phương trình g(m) ≤ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≤ min f(x)

+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ g(m) ≥ min f(x)

+) Bất phương trình g(m) ≥ f(x) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ g(m) ≥ max f(x)

Bài tập vận dụng

Câu 1. Các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) là

A. m < 5

B. m ≤ -3

C. m ≤ 1

D. m ≥ 3

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bất phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số trên khoảng (-∞; 1)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, để bất phương trình có nghiệm trên khoảng (-∞; 1) thì m ≤ -3

Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 2019] để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1;1]. Số các phần tử của tập S là

A. 1

B. 2020

C. 2019

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt , với x ∈ [-1;1] ⇒ t ∈ [0;1]

Bất phương trình đã cho trở thành t3 – t2 + 1 – m ≤ 0 ⇔ m ≥ t3 – t2 + 1 (1)

Yêu cầu của bài toán tương đương với bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1]

Xét hàm số f(t) = t3 – t2 + 1 ⇒ f’(t) = 3t2 – 2t

f’(t) = 0 ⇔

Vì f (0) = f (1) = 1; nên

Do đó bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi t ∈ [0;1] khi và chỉ khi m ≥ 1

Mặt khác m là số nguyên thuộc [0; 2019] nên m ∈ {1; 2; 3; …; 2019}

Vậy có 2019 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

Câu 3. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-1; 3] và có đồ thị như hình vẽ.

Bất phương trình có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi

A. m ≤ 7

B. m ≥ 7

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Xét hàm số trên đoạn [-1; 3]

Ta có

Dấu bằng xảy ra khi x = 3

Suy ra tại x = 3 (1)

Mặt khác dựa vào đồ thị của f(x) ta có tại x = 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra tại x = 3

Vậy bất phương trình có nghiệm thuộc [-1; 3] khi và chỉ khi ⇔ m ≤ 7

Tài liệu tham khảo GTLN GTNN của hàm số

Tài Liệu: GTNN GTLN của hàm số trị tuyệt đối – Nguyễn Thành Tiến – 31 trang

Tài Liệu: GTLN GTNN của Hàm Hợp – Hàm Liên Kết – Thầy Đặng Việt Đông – 91 trang

Tài Liệu: Các bài tập VDC GTLN và GTNN của hàm số – 36 trang

Tài Liệu: Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệp GTLN GTNN của hàm số – 35 trang

Tài Liệu: Bài tập GTLN GTNN của hàm số – Thầy Diệp Tuân – 65 trang

Tài Liệu: GTLN GTNN của Hàm giá trị tuyệt đối – Thầy Trần Minh Ngọc – 17 trang

Tài Liệu: Tổng ôn trắc nghiệm GTLN GTNN của hàm số – Thầy Nguyễn Vương – 82 trang

Tài Liệu: Bài tập vận dụng cao GTLN GTNN của hàm số – Thầy Nguyễn Công Định – 130 trang

Tài liệu: Các dạng toán GTLN GTNN thường gặp trong kỳ thi THPT QG – Thầy Nguyễn Bảo Vương – 66 trang

Tài liệu: Bài tập GTLN GTNN của hàm số – Thầy Lê Bá Bảo – 66 trang

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục