Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12: Lý Thuyết, Cách Tìm Và Các Dạng Bài Tập

Mục Lục

1. Định Nghĩa Cực Trị

Khái niệm cực trị cho một số học sinh vẫn còn khá mơ hồ. Để hiểu đơn giản, cực trị của một hàm số là giá trị làm cho hàm số thay đổi chiều khi biến thiên. Theo quan điểm hình học, cực trị của hàm số được biểu diễn bởi khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một điểm khác trên đồ thị.

Có thể bạn quan tâm

Lưu ý: Cực đại và cực tiểu không phải là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Bạn đang xem: Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12: Lý Thuyết, Cách Tìm Và Các Dạng Bài Tập

Theo dạng tổng quát, ta có hàm số f được xác định trên D (D R) và $x_{0}$ D

Nếu (a;b) chứa x0 thỏa mãn điều kiện: , thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f và f(x0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f
Nếu (a;b) chứa x0 thỏa mãn điều kiện: , thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f và f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Một số lưu ý về cực trị hàm số:

Điểm cực đại (hoặc điểm cực tiểu) x0 cũng được gọi là điểm cực trị. Giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) f(x0) của hàm số cũng được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực tiểu hoặc cực đại tại nhiều điểm trên miền xác định.
Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên miền xác định K; f(x0) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa x0.
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f, thì điểm M (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Lý Thuyết Về Cực Trị Của Hàm Số Lớp 12

2.1. Định Lý Liên Quan

Trong quá trình giải bài tập về cực trị của hàm số lớp 12, ta thường áp dụng các định lý sau đây. Có 3 định lý cơ bản mà học sinh cần nắm vững:

Định lý số 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì đạo hàm của hàm số tại điểm x0 f’(x0) = 0.

Lưu ý:

Ngược lại của định lý số 1 không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 mà hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm đó.
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

Định lý số 2: Nếu f’(x) thay đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.

Ngược lại, nếu f’(x) thay đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 (theo chiều giảm) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0.

Định lý số 3: Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

Trường hợp f’’(x0) < 0, hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0.
Trường hợp f’’(x0) > 0, hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0.
Trường hợp f’’(x0) = 0 chưa thể kết luận và cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm để xét sự biến thiên của hàm số.

2.2. Số Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Số điểm cực trị của một hàm số phụ thuộc vào dạng hàm số đó, ví dụ điểm cực trị có thể không tồn tại, hoặc có 1 điểm cực trị ở hàm bậc hai, hoặc có 2 điểm cực trị ở hàm bậc ba,…

Đối với số điểm cực trị của hàm số, ta cần lưu ý:

Điểm cực đại (cực tiểu) $x_{0}$ cũng là điểm cực trị. Giá trị cực đại (cực tiểu) được gọi là cực trị. Hàm số có thể có cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm.
Giá trị cực đại (cực tiểu) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f mà chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng (a;b) chứa $x_{0}$
Nếu một điểm cực trị của f là $x_{0}$ , thì đó là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

3. Điều Kiện Để Hàm Số Có Điểm Cực Trị

– Điều kiện cần: Cho hàm số f đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ . Nếu điểm $x_{0}$ là điểm đạo hàm của f thì

Lưu ý:

Điểm $x_{0}$ có thể khiến đạo hàm f’ bằng 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại $x_{0}$ .
Hàm số có thể không có đạo hàm nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại một điểm.
Xem thêm : Nghị luận về ý nghĩa của cuộc sống hòa bình
Tại điểm đạo hàm của hàm số bằng 0, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại 1 điểm hoặc không có đạo hàm.
Nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại và hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ , thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

– Điều kiện đủ: Giả sử hàm số có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và ( $x_{0}$ ;b) và hàm số liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm $x_{0}$ , thì khi đó:

Điểm $x_{0}$ là cực tiểu của hàm số f(x) nếu:

Nếu x đi qua điểm $x_{0}$ và f’(x) thay đổi dấu từ âm sang dương, thì hàm số đạt cực đại tại $x_{0}$ .

Điểm $x_{0}$ là cực đại của hàm số f(x) nếu:

Nếu x đi qua điểm $x_{0}$ và f’(x) thay đổi dấu từ dương sang âm, thì hàm số đạt cực đại tại điểm $x_{0}$

4. Cách Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Để tìm cực trị của một hàm số f(x) bất kỳ, ta áp dụng 2 quy tắc sau đây:

3.1. Tìm Cực Trị Theo Quy Tắc 1

Tìm đạo hàm f’(x).
Tại điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm, tìm các điểm .
Xét dấu của đạo hàm f’(x). Nếu ta thấy f’(x) thay đổi chiều khi x đi qua $x_{0}$ , ta xác định hàm số có cực trị tại điểm $x_{0}$ .

3.2. Tìm Cực Trị Theo Quy Tắc 2

Tìm đạo hàm f’(x).
Xét phương trình f’(x)=0, tìm các nghiệm .
Tính f’’(x) với mỗi :
- Nếu thì điểm xi là điểm mà hàm số đạt cực đại.
- Nếu thì điểm xi là điểm mà hàm số đạt cực tiểu.

5. Cách Giải Các Dạng Bài Tập Về Cực Trị Của Hàm Số

4.1. Dạng Bài Tập Tìm Điểm Cực Trị Của Hàm Số

Đây là dạng bài toán cơ bản về cực trị của hàm số trong chương trình học lớp 12. Để giải dạng bài này, học sinh áp dụng 2 quy tắc kèm theo các bước sau:

Tìm đạo hàm f’(x).
Tìm điểm có đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm.
Xét dấu của đạo hàm f’(x). Nếu thấy f’(x) thay đổi chiều khi x đi qua điểm , ta xác định hàm số có cực trị tại điểm .

4.2. Bài Tập Cực Trị Của Hàm Số Có Điều Kiện

Để giải bài tập này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

Xem thêm : Lý thuyết xác suất và biến cố
Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số y’=f’(x).
Bước 3: Kiểm tra theo một trong hai quy tắc để tìm điểm cực trị, từ đó xét điều kiện thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Ví dụ minh họa:

Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của m sao cho hàm số có cực tiểu tại x = 2

Giải:

Xét tập xác định của hàm số: D = R

Ta có:

Vì f’(2) = 0, nên ta xác định hàm số có cực tiểu tại x = 2

4.3. Tìm Số Cực Trị Của Hàm Số Bằng Phương Pháp Biện Luận

Đối với bài toán biện luận m, ta chia ra 2 trường hợp và sử dụng cách giải tương ứng:

Xét trường hợp hàm số bậc ba:

Đề bài cho hàm số

Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì hàm số không có cực trị.
Hàm số bậc 3 không có cực trị khi .
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt suy ra hàm số có 2 cực trị.
Có 2 cực trị khi .
Xét trường hợp hàm số bậc bốn trùng phương:

Ta có đạo hàm

Hàm số không có cực trị khi y’=0 có 1 nghiệm x=0 và © có một điểm cực trị khi và chỉ khi y’=0 có 3 nghiệm phân biệt và © có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

Trên đây là toàn bộ kiến thức về cực trị của hàm số bao gồm lý thuyết và các dạng bài tập thường gặp nhất trong chương trình học toán 12 cũng như các đề luyện thi THPT QG. Truy cập Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán của lớp 12 nhé!

>> Xem thêm:

Giá Trị Lớn Nhất Và Nhỏ Nhất Của Hàm Số
Tổng Ôn Tập Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Logarit
Hàm Số Mũ Và Hàm Số Logarit: Lý Thuyết Và Giải Bài Tập
Tổng Hợp Hàm Số Từ A Đến Z
Tổng Ôn Tập Hàm Số Mũ Từ A Đến Z
Chinh Phục Hoàn Toàn Bài Toán Vận Dụng Cao Hàm Số

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục