Tailieumoi.vn rất vui mừng giới thiệu tới các thầy cô và các em học sinh đang ôn tập tài liệu về Lý thuyết và bài tập Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. Tài liệu này bao gồm 17 trang và được tổng hợp từ những tài liệu ôn thi tốt nhất, giúp các em có thêm tài liệu tham khảo để ôn tập, tổng hợp kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp tới. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả tốt như mong đợi.

Rất mong các thầy cô và các em học sinh tham khảo và tải xuống tài liệu chi tiết dưới đây

Bạn đang xem:

Phương pháp giải Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2023

Bài giảng Toán học lớp 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán tổng quát: Cho hàm số[y = left| {f(x)} right|]. Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn[[a;b]];

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm [mathop {max }limits_{[a;b]} f(x) = p;mathop {min }limits_{[a;b]} f(x) = q].

Bước 2: Xét các khả năng

Nếu [p.q le 0 Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mathop {min }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = 0}{mathop {max }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = max left{ right}}end{array}} right.]

Nếu [q > 0 Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mathop {min }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = q}{mathop {max }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = p}end{array}} right.]

Nếu [p < 0 Rightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}}{mathop {min }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = left| p right| = – p}{mathop {max }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = left| q right| = – q}end{array}} right.]

Chú ý công thức tính nhanh:

[mathop {max }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = frac{{left| {p + q} right| + left| {p – q} right|}}{2}] ;

[mathop {min }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| = left{ {begin{array}{*{20}{c}}{0,neup.q < 0}{frac{{left| {p + q} right| + left| {p – q} right|}}{2},neup.q > 0}end{array}} right.]

Tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể mà chúng ta áp dụng phương pháp thích hợp nhất. Dưới đây là ba dạng bài toán thường gặp nhất.

Dạng 1: Tìm tham số để[left[ {begin{array}{*{20}{c}}{mathop {min }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| le k( ge k)}{mathop {max }limits_{[a;b]} left| {f(x)} right| le k( ge k)}end{array}} right.]

Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số[y = left| {{x^4} – 2{x^2} – m} right|] trên đoạn [−1;2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. −2 .

B. 7 .

C. 14.

D. 3 .

Lời giải

Đáp án là B

Ta xét [f(x) = {x^4} – 2{x^2} – m] trên đoạn [−1;2] có

[f'(x) = 4{x^3} – 4x = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 in [ – 1;2]}{x = 0 in [ – 1;2]}{x = – 1 in [ – 1;2]}end{array}} right.]

Khi đó [f(0) = – m;f( pm 1) = – m – 1;f(2) = – m + 8].

Suy ra: [mathop {max }limits_{[ – 1;2]} f(x) = – m + 8]và [mathop {min }limits_{[ – 1;2]} f(x) = – m – 1].

Nếu [( – 1 – m)(8 – m) le 0 Leftrightarrow – 1 le m le 8], thì [mathop {min }limits_{[ – 1;2]} f(x) = 0], không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nếu [ – m – 1 > 0 Leftrightarrow m < – 1], thì [mathop {min }limits_{[ – 1;2]} y = | – m – 1| = – m – 1]

Khi đó [ – m – 1 = 2 Leftrightarrow m = – 3(t/m)] .

Nếu [ – m + 8 < 0 Leftrightarrow m > 8], thì [mathop {min }limits_{[ – 1;2]} y = | – m + 8| = m – 8]; khi đó

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về khát vọng (Dàn ý + 17 mẫu) Vai trò của khát vọng trong cuộc sống

[m – 8 = 2 Leftrightarrow m = 10(t/m).]

Vậy tổng tất cả các phần tử là 7 .

Ví dụ mẫu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số [y = left| {frac{{{x^2} – mx + 2m}}{{x – 2}}} right|] trên đoạn [−1;1] bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. [ – 8/3].

B. 5.

C. [5/3].

D. −1.

Lời giải

Đáp án là D

Ta xét hàm số [f(x) = frac{{{x^2} – mx + 2m}}{{x – 2}}] trên [−1;1] có [f'(x) = 1 – frac{4}{{{{(x – 2)}^2}}}}}] ;

[f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}{x = 4 notin [ – 1;1]}end{array};} right.]

[f( – 1) = – m – frac{1}{3};f(0) = – m;f(1) = – m – 1.]

Suy ra: [mathop {max }limits_{[ – 1;1]} f(x) = – m] và [mathop {min }limits_{[ – 1;1]} f(x) = – m – 1.]

Nếu [ – m( – m – 1) le 0 Leftrightarrow – 1 le m le 0], thì [mathop {max }limits_{[ – 1;1]} y = left{ ; right} = left{ {m + 1; – m} right}]

Có hai khả năng [left[ {begin{array}{*{20}{c}}{3 = – m}{3 = m + 1}end{array} Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{m = – 3}{m = 2}end{array}} right.} right.], không thỏa mãn.

Nếu [f(0) = – m < 0 Leftrightarrow m > 0]. Khi đó [mathop {max }limits_{[ – 1;1]} y = | – m – 1| = m + 1.]

[ Rightarrow m + 1 = 3 Leftrightarrow m = 2(t/m)]

Nếu [ – m – 1 > 0 Leftrightarrow m < – 1]. Khi đó [3 = mathop {max }limits_{[ – 1;1]} left| {f(x)} right| = f(0) Leftrightarrow m = – 3].

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m1 = -3, m2 = 2. . Do đó tổng tất cả các phần tử là -1.

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số [y = left| {{x^3} – {x^2} – x + m} right|]với m ∈ Z . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để [mathop {min }limits_{[1;3]} y < 3]?

A. 21.

B. 22 .

C. 4 .

D. 20 .

Lời giải

Đáp án là A

Ta xét hàm số [f(x) = {x^3} – {x^2} – x + m], x ∈ [1;3].

Ta có [f'(x) = 1 – frac{4}{{{{(x – 2)}^2}}}}}] ;

[f'(x) = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}{x = 4 notin [ – 1;1]}end{array};} right.]

Ta có [f( – 1) = – m – frac{1}{3};f(0) = – m;f(1) = – m – 1.]

Suy ra: [mathop {max }limits_{[ – 1;1]} f(x) = – m] và [mathop {min }limits_{[ – 1;1]} f(x) = – m – 1.]

Nếu [(m – 1)(m + 15) le 0 Leftrightarrow – 15 le m le 1], thì [mathop {min }limits_{[1;3]} f(x) = 0], không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm :

Nếu [m – 1 > 0 Leftrightarrow m > 1;mathop {min }limits_{[1;3]} f(x) = m – 1 < 3 Rightarrow 1 < m < 4]. Thì có 2 số nguyên thỏa mãn.

Nếu [m + 15 < 0 Leftrightarrow m < – 15;mathop {min }limits_{[1;3]} |m + 15| < 3 Rightarrow – m – 15 < 3 Rightarrow – 18 < m < – 15]. Thì có 2 số nguyên thỏa mãn. Vậy có tất cả 21 số nguyên thỏa mãn.

BÀI TẬP VỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số [f(x) = left| {{x^4} + 4{x^3} – m} right|] trên đoạn [−4;−2] bằng 2020 ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số [y = left| {frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}} right|]trên đoạn [−2;2] bằng 5. Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S . Tính T .

A. T = 4.

B. T = −5 .

C. T =1.

D. T = − 4

Lời giải

Đáp án là D

Ta xét hàm số [f(x) = frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}], hàm số luôn xác định trên đoạn đã cho.

[f'(x) = frac{{{x^2} + 6x}}{{{{left( {x + 3} right)}^2}}} = 0 Rightarrow {x^2} + 6x = 0 Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}{x = – 6}end{array}} right.]

Ta có[f( – 2) = m + 4,f(0) = m;f(2) = m + frac{4}{5}].

Với [g(x) = left| {f(x)} right| = left| {frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}} right|] . Ta có [mathop {max }limits_{[ – 2;2]} g(x) = max { left| {f( – 2)} right|;left| {f(0)} right|} ].

Xét [m(m + 4) le 0 Leftrightarrow – 4 le m le 0], thì [left[ {begin{array}{*{20}{c}}{ – m = 5}{m + 4 = 5}end{array} Rightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}{m = – 5}{m = 1}end{array}} right.] (không thỏa mãn).

Xét với m > 0. Ta có [mathop {max }limits_{[ – 2;2]} g(x) = left| {f( – 2)} right| = |m + 4| = m + 4 = 5 Rightarrow m = 1.]

Xét với m < −4, ta có [mathop {max }limits_{[ – 2;2]} g(x) = left| {f(0)} right| = |m| = – m = 5 Rightarrow m = – 5.]

Vậy S = {−5;1} nên tổng T = (−5) + 1 = −4.

Câu 3. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số [f(x) = left| { – {x^4} + 2{x^2} + m} right| + 1] trên đoạn [0;2] bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 7 .

B. 17 .

C. −3 .

D. −7 .

Lời giải

Đáp án là A

Ta xét hàm số [g(x) = – {x^4} + 2{x^2} + m] trên [0;2].

Ta có [g'(x) = 0 Leftrightarrow 2x – 3 = 0 Leftrightarrow x = frac{3}{2}]

Xem chi tiết tại: https://tailieumoi.vn/lien-ket/2407306

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục