Bài viết Ví dụ về Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian và phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, hiểu cách làm bài tập Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Công thức tính Tích vô hướng của hai vecto trong không gian cực kỳ hữu ích

Bài giảng: Các loại bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Bạn đang xem:

A. Phương pháp giải & Ví dụ

+ Tích vô hướng của hai vecto:

a→.b→=a1.b1+ a2.b2+ a3.b3

+ a→⊥b→⇔a1.b1+ a2.b2+ a3.b3=0

+ a→2=a12+a22+a32

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các vecto a→=(1;2;1),

b→=(3;-1;2), c→=(4; -1; -3),d→=(3; -3; -5),u→=(1;m;2),m∈R.

a) Tính a→.b→; b→(a→-2c→)

b) So sánh a→.(b→.c→) và (a→.b→ ) c→

c) Tính các góc (a→,b→ ), ( a→+b→,3a→– 2c→ )

d) Tìm m để u→⊥(b→+d→)

e) Tìm m để (u→,a→ )=600

Lời giải:

a) a→ =(1;2;1),b→ =(3;-1;2)

⇒a→ .b→ =1.3+2.(-1)+1.2=3.

c→ =(4; -1; -3)⇒2c→ =(8; -2; -6)⇒ a→ -2c→ =(-7;4;7)

⇒b→ (a→ -2c→ )=3.(-7)-1.4+2.7=-11

b) b→ .c→ =3.4+(-1).(-1)+2.(-3)=7⇒a→ .(b→ .c→ )=(7;14;7)

a→ .b→ =3⇒(a→ .b→ ) c→ =(12; -3; -9)

Vậy a→ .(b→ .c→ )≠(a→ .b→ ) c→

c) Ta có:

⇒(a→.b→ )≈710

+ a→+ b→=(4;1;3),3a→– 2c→=(-5;8;9)

⇒cos( a→+b→,3a→– 2c→ )

⇒( a→ +b→ ,3a→ – 2c→ )≈770

d) b→ +d→ =(6; -4; -3); u→ =(1;m;2)

u ⃗⊥(b→ +d ⃗ )⇔u→ .(b→ +d→ )=0⇔6-4m-6=0⇔m=0

e)

(u→ ,a→ )=600⇔cos⁡(u→ ,a→ )=1/2

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a→,b→ sao cho (a→,b→ )=1200,

|a→ |=2; |b→ |=3. Tính |a→+ b→ | và |a→-2b→ |

Lời giải:

Áp dụng công thức: a→ .b→ =|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )

Ta có: |a→ + b→ |2=(a→ + b→ )2=a→ 2+2a→ .b→ +b→ 2

=|a→ |2+|b→ |2+2|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+9+2.2.3.((-1)/2)=7

⇒|a→ + b→ |=√7

Tương tự:

|a→ -2b→ |2 =|a→ |2+4|b→ |2-4|a→ |.|b→ |.cos⁡(a→ ,b→ )=4+36-4.2.3.((-1)/2)=52

⇒|a→ -2b→ |=2√(13)

Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2; -1; 1), B(3; 5; 2), C(8; 4; 3), D(-2; 2m+1; -3)

a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Tìm m sao cho tam giác ABD vuông tại A

c) Tính số đo góc A của tam giác ABC

Lời giải:

a) Ta có: AB→=(1;6;1); BC→=(5;-1;1)

⇒AB→.BC→=1.5+6.(-1)+1.1=0

⇒AB→⊥BC→⇒tam giác ABC vuông tại B.

b) AB→=(1;6;1); AD→=(-4;2m+2; -4)

Tam giác ABD vuông tại A ⇔AB→.AD→=0

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Phân tích hình tượng người lính Tây Tiến (22 Mẫu) 3 Dàn ý + 22 mẫu chân dung người lính Tây Tiến

⇔1.(-4)+6.(2m+2)+1.(-4)=0

⇔12m+4=0⇔m=(-1)/3

c) AB→=(1;6;1); AC→=(6;5;2)

cos⁡A=cos⁡(AB→;AC→ )

⇒Â≈400

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho các vectơ u→(u1;u2;u3) và v→(v1;v2;v3), u→. v→=0 khi và chỉ khi:

A. u1v1+u2v2+u3v3=0

B. u1+v1+u2+v2+u3+v3=0

C. u1v1+u2v2+u3v3=1

D. u1v2+u2v3+u3v1=-1

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 2: Cho hai vectơ a→ và b→ tạo với nhau góc 600 và |a→| =2; |b→| =4. Khi đó |a→+ b→ | bằng:

A. 2√7 B. 2√3

C. 2√5 D. 2

Lời giải:

Đáp án : A

Xem thêm : P/S là gì? P/S được sử dụng như thế nào?

Giải thích :

|a→+ b→ |2=(a→+ b→)2=|a→|2+|b→|2+2|a→|.|b→|.cos⁡(a→+ b→)

=4+16+2.2.4.1/2=28

⇒|a→+ b→|=√7

Bài 3: Cho a→(-2;1;3), b→(1;2;m). Với giá trị nào của m để a→ vuông góc với b→ ?

A. m=-1 B. m=1

C. m=2 D. m=0

Lời giải:

Đáp án : D

Xem thêm : P/S là gì? P/S được sử dụng như thế nào?

Giải thích :

a→ vuông góc với b→ khi và chỉ khi a→ . b→=0

⇔-2.1+1.2+3.m=0⇔m=0

Bài 4: Tính cosin của góc giữa hai vectơ a→ và b→ biết a→(8;4;1), b→(2;-2;1)

A. 1/2 B. √(2)/2

C. √(3)/2 D. 1/3

Lời giải:

Đáp án : D

Xem thêm : P/S là gì? P/S được sử dụng như thế nào?

Giải thích :

cos⁡(a→ , b→)

Bài 5: Cho tam giác ABC với A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Khi đó số đo của góc BACˆ bằng:

A. 300 B. 900

C. 600 D. 450

Lời giải:

Đáp án : B

Xem thêm : P/S là gì? P/S được sử dụng như thế nào?

Giải thích :

AB→=(-3;0;-4); AC→=(7;0;1)

⇒(AB→ , AC→)=1350

⇒ Bˆ=450

Bài 6: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). Khi đó số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và CD là :

A. 300 B. 450

C. 600 D. 900

Lời giải:

Đáp án : B

Xem thêm : P/S là gì? P/S được sử dụng như thế nào?

Giải thích :

AB→ =(-1;1;0); CD→ =(-2;1; -2)

Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là α

⇒α=450

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, điều kiện để a→ vuông góc với b→ là gì ?

A. a→ . b→ =0 B. [ a→ , b→] = 0→

C. a→ + b→ = 0→ D. a→ – b→ = 0→

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. | a→|= √2 B. c→ ⊥ b→

C. a→ ⊥ b→ D. | c→ |=√3

Lời giải:

Đáp án : B

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có AB→=(-3;0;4), AC→=(5;-2;4). Độ dài trung tuyến AM là:

A. 3√2 B. 4√2

C. 2√3 D. 5√3

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 14: Cho | a→ |=2; | b→ |=5, góc giữa hai vectơ a→ và b→ bằng (2π)/3, u→ = k a→ – b→; v→ = a→ + 2 b→. Để u→ vuông góc với v→ thì k bằng?

A. -45/6 B. 45/6

C. 6/45 D. -6/45

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a→=(x;2;1), b→ =(2;1;2), Tìm x biết cos( a→ , b→ )=2/3.

A. x=1/2 B. x=1/3

C. x=3/2 D. x=1/4

Lời giải:

Đáp án : D

Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A→ (-2;2;-1), B→ (-2;3;0), C→ (x;3;-1). Giá trị của x để tam giác ABC đều là:

A. x=-1 B. x=-3

C. D. x=1

Lời giải:

Đáp án : C

Bài 17: Cho hai vecto a→; b→ tạo với nhau một góc 600. Biết độ dài của hai vecto đó lần lượt là 5 và 10. Độ dài của vecto hiệu a→ – b→ là:

A. 15 B. 5

C. 75 D. √(75)

Lời giải:

Đáp án : D

Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho tam giác ABC có A(-4;3;5), B(-3;2;5) và C(5;-3;8). Tính cos⁡(AB→ ; BC→ ).

Lời giải:

Đáp án : C

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1). Số đo của góc B là:

A. 450 B. 600

C. 300 D. 1200

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba vectơ a→(-1;1;0), b→(1;1;0), c→(1;1;1,). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. | a→|= √2 B. c→ ⊥ b→

C. a→ ⊥ b→ D. | c→|=√3

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục