Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]), trục hoành và hai đường thẳng (x = a; x = b), thì diện tích (S) được tính bằng công thức:

Bạn đang xem: Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học

(S = int_a^b {left| {f(x)} right|} dx) (1)

Chú ý: Để tính tích phân này, ta xét dấu của (f(x)) trên đoạn ([a,b]). Nếu (f(x)) không thay đổi dấu trên khoảng ((c;d) ⊂ [a;b]), thì:

(int_c^d {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_c^d f (x)dx} right|)

Ví dụ:

(int_a^b {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_a^{{c_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} right| )(+ left| {int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_3}}^b f (x)dx} right|)

b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {rm{ }}{f_1}left( x right)) và (y = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng ( x = a, x = b), thì diện tích (S) được tính bằng công thức:

(int_a^b {left| {{f_1}(x) – {f_2}(x)} right|} dx) (2)

Xem thêm : HANG OUT là gì? Có phải nghĩa là đi chơi, tụ tập bạn bè?

Chú ý: Để tính tích phân này, ta xét dấu (fleft( x right) = ;{f_1}left( x right){rm{ }}; – {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) hoặc tìm các nghiệm của nó trên khoảng ((a;b)), sau đó áp dụng tính chất đã nêu ở chú ý trên. Cụ thể, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Giải phương trình: ({f_1}left( x right){rm{ }}; – {rm{ }}{f_2}left( x right)){rm{ }} = {rm{ }}0), tìm các nghiệm ({x_i})(in {rm{ }}left( {a;b} right))

Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:

[{x_{1;}} < {rm{ }}{x_2}; < {rm{ }} ldots {rm{ }} < {rm{ }}{x_{n.}}]

Bước 3: Tính diện tích bằng công thức (*):

(S = int_a {^b} left| {f(x)} right|dx = left| {int_a^{{x_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} right| + … + left| {int_{{x_n}}^b f (x)dx} right|)

Nếu hình phẳng không được giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a, x = b), ta tìm các nghiệm trong tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bằng ({x_1}), b được thay thế bằng ({x_n}).

Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right) = {rm{ }}0) hoặc (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right){rm{ = }}0)

Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_1}left( y right),;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_2}left( y right)) liên tục trên đoạn ([c;d]) và hai đường thẳng (y = c, y = d) có diện tích được tính bằng công thức: $$S = int_c^d {left| {{g_1}(y) – {g_2}(y)} right|} dy$$

Xem thêm : TOP 200+ tên các loài hoa bằng tiếng anh

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ (x = a, x = b (a<b)). (S(x)) là diện tích của tiết diện. Thể tích của vật thể được tính bằng công thức: (V = int_a^b S (x)dx) (với (S(x)) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn ([a;b])).

3. Thể tích khối tròn xoay

a) Hình phẳng xoay quanh trục (Ox): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = f(x)) không âm và liên tục trên đoạn ([a;b]), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a, x = b) xoay quanh trục (Ox), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích ({V_x}) của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $${V_x} = pi {int_a^b {left[ {f(x)} right]} ^2}dx.$$

b) Hình phẳng xoay quanh trục (Oy) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (x = g(y)) không âm và liên tục trên đoạn ([c;d]), trục (Oy) và hai đường thẳng (y = c, y = d) xoay quanh trục (Oy), ta được khối tròn xoay. Thể tích ({V_y}) của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $${V_y} = pi {int_c^d {left[ {g(y)} right]} ^2}dy.$$

Chú ý: Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a), (x = b) và đồ thị của hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right),{rm{ }}y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục và (0; le ;;{f_1}left( x right); le {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) xoay quanh trục (Ox) được tính bằng công thức: $${V_x} = pi int_a^b {left[ {{{({f_2}(x))}^2} – {{({f_1}(x))}^2}} right]} dx$$

Tương tự, đổi vai trò (x) và (y) cho nhau, ta có công thức tính ({V_y}) (khi hình phẳng quay quanh trục (Oy)).

Loigiaihay.com

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục