1. Tính diện tích hình phẳng
- Văn mẫu lớp 8: Nghị luận trang phục của giới trẻ hiện nay 3 Dàn ý & 23 bài văn mẫu lớp 8 hay nhất
- TOP 12 mẫu Nghị luận về tinh thần lạc quan trong cuộc sống (2023) SIÊU HAY
- Nghị luận về lòng hiếu thảo (11 mẫu)
- Modun số phức và các tính chất liên quan
- Thì hiện tại hoàn thành tiếp diễn (Present Perfect Continuous Tense) – Công thức, dấu hiệu, ví dụ và bài tập
a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]), trục hoành và hai đường thẳng (x = a; x = b), thì diện tích (S) được tính bằng công thức:
Bạn đang xem: Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học
(S = int_a^b {left| {f(x)} right|} dx) (1)
Chú ý: Để tính tích phân này, ta xét dấu của (f(x)) trên đoạn ([a,b]). Nếu (f(x)) không thay đổi dấu trên khoảng ((c;d) ⊂ [a;b]), thì:
(int_c^d {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_c^d f (x)dx} right|)
Ví dụ:
(int_a^b {left| {f(x)} right|} dx = left| {int_a^{{c_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_1}}^{{c_2}} f (x)dx} right| )(+ left| {int_{{c_2}}^{{c_3}} f (x)dx} right| + left| {int_{{c_3}}^b f (x)dx} right|)
b) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {rm{ }}{f_1}left( x right)) và (y = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng ( x = a, x = b), thì diện tích (S) được tính bằng công thức:
(int_a^b {left| {{f_1}(x) – {f_2}(x)} right|} dx) (2)
Xem thêm : In terms of là gì? Ý nghĩa & cách dùng trong bài Writing
Chú ý: Để tính tích phân này, ta xét dấu (fleft( x right) = ;{f_1}left( x right){rm{ }}; – {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) hoặc tìm các nghiệm của nó trên khoảng ((a;b)), sau đó áp dụng tính chất đã nêu ở chú ý trên. Cụ thể, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình: ({f_1}left( x right){rm{ }}; – {rm{ }}{f_2}left( x right)){rm{ }} = {rm{ }}0), tìm các nghiệm ({x_i})(in {rm{ }}left( {a;b} right))
Bước 2: Sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần, chẳng hạn có n nghiệm:
[{x_{1;}} < {rm{ }}{x_2}; < {rm{ }} ldots {rm{ }} < {rm{ }}{x_{n.}}]
Bước 3: Tính diện tích bằng công thức (*):
(S = int_a {^b} left| {f(x)} right|dx = left| {int_a^{{x_1}} f (x)dx} right| + left| {int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} right| + … + left| {int_{{x_n}}^b f (x)dx} right|)
Nếu hình phẳng không được giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a, x = b), ta tìm các nghiệm trong tập xác định và trong công thức (*), a được thay thế bằng ({x_1}), b được thay thế bằng ({x_n}).
Công thức (1) là trường hợp đặc biệt của công thức (2) khi (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right) = {rm{ }}0) hoặc (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right){rm{ = }}0)
Tương tự, hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_1}left( y right),;x{rm{ }} = {rm{ }}{g_2}left( y right)) liên tục trên đoạn ([c;d]) và hai đường thẳng (y = c, y = d) có diện tích được tính bằng công thức: $$S = int_c^d {left| {{g_1}(y) – {g_2}(y)} right|} dy$$
2. Thể tích vật thể
Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ (x = a, x = b (a<b)). (S(x)) là diện tích của tiết diện. Thể tích của vật thể được tính bằng công thức: (V = int_a^b S (x)dx) (với (S(x)) là hàm số không âm, liên tục trên đoạn ([a;b])).
3. Thể tích khối tròn xoay
a) Hình phẳng xoay quanh trục (Ox): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = f(x)) không âm và liên tục trên đoạn ([a;b]), trục (Ox) và hai đường thẳng (x = a, x = b) xoay quanh trục (Ox), ta được khối tròn xoay (h.4). Thể tích ({V_x}) của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $${V_x} = pi {int_a^b {left[ {f(x)} right]} ^2}dx.$$
b) Hình phẳng xoay quanh trục (Oy) (kiến thức bổ sung): Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số (x = g(y)) không âm và liên tục trên đoạn ([c;d]), trục (Oy) và hai đường thẳng (y = c, y = d) xoay quanh trục (Oy), ta được khối tròn xoay. Thể tích ({V_y}) của khối tròn xoay này được tính bằng công thức: $${V_y} = pi {int_c^d {left[ {g(y)} right]} ^2}dy.$$
Chú ý: Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng (x = a), (x = b) và đồ thị của hàm số (y{rm{ }} = {rm{ }}{f_1}left( x right),{rm{ }}y{rm{ }} = {rm{ }}{f_2}left( x right)) liên tục và (0; le ;;{f_1}left( x right); le {rm{ }}{f_2}left( x right)) trên đoạn ([a;b]) xoay quanh trục (Ox) được tính bằng công thức: $${V_x} = pi int_a^b {left[ {{{({f_2}(x))}^2} – {{({f_1}(x))}^2}} right]} dx$$
Tương tự, đổi vai trò (x) và (y) cho nhau, ta có công thức tính ({V_y}) (khi hình phẳng quay quanh trục (Oy)).
Loigiaihay.com
Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục