Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy )

Bất đẳng thức Côsi là một trong những bất đẳng thức cổ điển. Tên chính xác của nó là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, mà nhiều người gọi là bất đẳng thức AM – GM (AM viết tắt của Arithmetic mean và GM viết tắt của Geometric mean). Bất đẳng thức này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), người đã đưa ra một cách chú ý đặc sắc, nên nhiều người gọi là bất đẳng thức Cauchy.

Có thể bạn quan tâm

Nó được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, ta quan tâm đến các trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy.

Bạn đang xem: Bất đẳng thức Côsi ( Cauchy )

Mục Lục

1. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Côsi

a. Dạng tổng quát bất đẳng thức Côsi

Cho x1, x2, x3, …, xn là các số thực không âm, ta có:

Cho x1, x2, x3, …, xn là các số thực dương, ta có:

b) Các bất đẳng thức Côsi đặc biệt

c) Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy

d) Chú ý khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM

Khi áp dụng bất đẳng thức Côsi, các số phải là các số không âm.
Bất đẳng thức Côsi thường được áp dụng khi cần chứng minh tổng và tích trong bài toán.
Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là khi các số bằng nhau.
Bất đẳng thức Côsi còn có hình thức khác thường hay được sử dụng.

Đối với hai số:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge 2xy$.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}ge frac{{({{x}+y})^{2}}}{2}$
$xcdot yle {{left( frac{{x+y}}{2} right)}^{2}}$

Xem thêm : Thuyết minh về động Phong Nha Kẻ Bàng – Kỳ quan đệ nhất động

Đối với ba số: $abcle frac{{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}}{3}le {{left( frac{{a+b+c}}{3} right)}^{3}}$

2. Các dạng bài tập

Dạng 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi

Ví dụ: Cho a, b là số dương thỏa mãn $a^2 + b^2 = 2$. Chứng minh rằng ${{(a+b)}^{5}} ge 16absqrt{left( 1+{{a}^{2}} right)left( 1+{{b}^{2}} right)}$

Lời giải:

Dạng 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp

Để chứng minh bất đẳng thức, ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo ra một biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng bất đẳng thức Côsi.
Khi gặp bất đẳng thức có dạng $x + y + z ge a + b + c$ (hoặc $xyz ge abc$), ta thường đi chứng minh $x + y ge 2a$ (hoặc $ab le x^2$), xây dựng các bất đẳng thức tương tự rồi cộng (hoặc nhân) vế với vế để suy ra điều phải chứng minh.
Khi tách và áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).

Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3.

Chứng minh rằng $8(a + b)(b + c)(c + a) le (3 + a)(3 + b)(3 + c)$

Lời giải:

Dạng 3: Kĩ thuật tham số hóa

Có những trường hợp khi ta không thể dự đoán được dấu bằng xảy ra (để tách ghép cho hợp lý) nên cần đưa tham số vào rồi chọn sau đó sao cho dấu bằng xảy ra.

Xem thêm : Lý thuyết hàm số lũy thừa

Ví dụ: Cho a, b, c là số dương thỏa mãn $2a + 4b + 3c^2 = 68$. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $a^2 + b^2 + c^3$.

Phân tích