Lý Thuyết Giới Hạn Của Hàm Số, Các Công Thức Tính Và Bài Tập

1. Lý thuyết về giới hạn của hàm số

1.1. Khái niệm về giới hạn của hàm số

Trong toán học, khái niệm “giới hạn” dùng để chỉ giá trị khi biến của một hàm số hoặc một dãy số tiến gần tới một giá trị xác định.

Giới hạn của hàm số là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực giải tích và tích phân. Nó liên quan chặt chẽ đến hàm số khi biến tiến gần tới một giá trị cụ thể.

Chẳng hạn, ta có thể nói hàm số có giới hạn L tại a khi giá trị của hàm số tiến gần đến L khi biến x tiến gần tới a.

Ký hiệu toán học: $underset{xrightarrow a}{lim}f(x) = L$

Ví dụ: $underset{xrightarrow 2}{lim} x^{2} = 4$, vì $x^{2}$ tiến gần đến 4 khi x tiến gần đến 2.

1.2. Giới hạn của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) và khoảng K chứa điểm $x_{0}$. Hàm số f(x) được xác định trên K hoặc K trừ điểm $x_{0}$.

Ta nói y = f(x) có giới hạn là L khi x tiến gần tới $x_{0}$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$, $x_{n}$ tiến tới $x_{0}$ thì $f(x_{n})$ tiến tới L.

Ký hiệu toán học:

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L$, hoặc f(x) = L khi $x rightarrow x_{0}$

1.3. Giới hạn của hàm số tại vô cực

a, Cho y = f(x) được xác định trên $(a;+ infty)$

Ta nói y = f(x) có giới hạn L khi x tiến gần tới $+ infty$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$, $x_{n} > a$ và $x_{n} rightarrow + infty$, ta có $f(x_{n}) rightarrow L$

Ký hiệu toán học:

$underset{xrightarrow + infty}{lim} f(x) = L$

hoặc f(x) = L khi $x rightarrow + infty$

b, Cho y = f(x) được xác định trên $(- infty;a)$

Ta nói y = f(x) có giới hạn L khi x tiến gần tới $- infty$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$, $x_{n} < a$ và $x_{n} rightarrow - infty$, ta có $f(x_{n}) rightarrow L$

Ký hiệu toán học:

$underset{xrightarrow – infty}{lim} f(x) = L$

hoặc f(x) = L khi $x rightarrow – infty$

Nhận xét: Hàm số f(x) có giới hạn là $+ infty$ khi và chỉ khi hàm số -f(x) có giới hạn là $- infty$

1.4. Giới hạn của hàm số là lim

Giả sử f(x) là một hàm số thực, a là một số thực. Biểu thức $underset{xrightarrow a}{lim}f(x) = L$ có ý nghĩa là khi x đủ gần a, thì f(x) sẽ càng gần L. Chú ý rằng điều này cũng đúng khi $f(a) neq L$ và khi f(x) không được xác định tại a.

Đăng ký ngay bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán thi THPT Quốc Gia độc quyền của VUIHOC

2. Các định lý về giới hạn của hàm số

• Định lý 1:

a, Giả sử $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}g(x) = M$. Khi đó:

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x)+g(x)] = L+M$

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x)-g(x)] = L-M$

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}[f(x)cdot g(x)] = Lcdot M$

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}left[frac{f(x)}{g(x)}right] = frac{L}{M}$ ($M neq 0$)

b, Nếu $f(x) geq 0$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L$ thì: $L geq 0$ và $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}sqrt{f(x)} = sqrt{L}$

Dấu của hàm số f(x) được xét trên khoảng cần tìm giới hạn với $x neq x_{0}$

• Định lý 2:

$underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x) = L$ khi và chỉ khi $underset{xrightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x) = underset{xrightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x) = L$

3. Một số giới hạn đặc biệt

a, $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}x = x_{0}$

b, $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}c = c$

c, $underset{xrightarrow pm infty}{lim}c = c$

d, $underset{xrightarrow pm infty}{lim}frac{c}{x} = 0$ với c là hằng số

Xem thêm :

e, $underset{xrightarrow +infty}{lim}x^{k} = +infty$ với k là số nguyên dương

f, $underset{xrightarrow +infty}{lim}x^{k} = -infty$ nếu k là số lẻ

g, $underset{xrightarrow -infty}{lim}x^{k} = +infty$ nếu k là số chẵn

4. Các dạng toán tính giới hạn của hàm số và ví dụ

4.1. Tìm giới hạn xác định bằng cách sử dụng định nghĩa

Phương pháp giải: Chuyển giới hạn của hàm số về giới hạn của dãy số để tính

Ví dụ: Tìm giới hạn của các hàm số sau đây bằng định nghĩa:

a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}(3x^{2}+x+1)$

b, $B=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{x^{3}-1}{x-1}$

c, $underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt{x+2}-2}{x-2}$

d, $underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{3x+2}{x-1}$

Lời giải:

4.2. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng

Hàm số dạng 0/0 là hàm số có dạng $A=underset{xrightarrow x_{0}}{lim}frac{f(x)}{g(x)}$ với $f(x_{0})=g(x_{0})=0$

Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơzu: Nếu f(x) có nghiệm $x=x_{0}$, ta có $f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x)$ Nếu hàm f(x) và g(x) là đa thức thì ta có thể phân tích như sau:

$f(x)=(x-x_{0}).f_{1}(x), g(x)=(x-x_{0}).g_{1}(x)$

Khi đó $A=underset{xrightarrow x_{0}}{lim}frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}$, ta tiếp tục quá trình như trên nếu giới hạn này có dạng 0/0

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$

b, $B=underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt[3]{3x+2}-x}{sqrt[2]{3x-2}-2}$

Lời giải:

a, $A=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{sqrt{2x-1}-x}{x^{2}-1}$

Ta có: $underset{xrightarrow 1}{lim}frac{-(x-1)}{(x-1)(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=0$

$underset{xrightarrow 1}{lim}frac{2x-1-x^{2}}{(x-1)(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=underset{xrightarrow 1}{lim}frac{-(x-1)}{(x+1)(sqrt{2x-1}+x)}=0$

b, $B=underset{xrightarrow 2}{lim}frac{sqrt[3]{3x+2}-x}{sqrt[2]{3x-2}-2}$

Ta có: $underset{xrightarrow 2}{lim}frac{(3x+2-x^{3})(sqrt{3x-2}+2)}{3(x-2)(sqrt[3]{(3x+2)^{2}}+2sqrt[3]{(3x+2)}+4)}=-1$

4.3. Tìm giới hạn của hàm số dạng vô cùng trừ vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi hàm số thành dạng $[infty] – [infty]$ sau đó sử dụng phương pháp giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau đây:

a, $A=underset{xrightarrow +infty}{lim}x(sqrt{x^{2}+9}-x)$

b, $B=underset{xrightarrow +infty}{lim}sqrt{x^{2}-x+1}-x$

Lời giải:

a,

$A=underset{xrightarrow +infty}{lim}x(sqrt{x^{2}+9}-x)=underset{xrightarrow +infty}{lim}x.frac{x^{2}+9-x^{2}}{sqrt{x^{2}+9}+x}=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{9}{sqrt{1+frac{9}{x^{2}}}+1}=frac{9}{2}$

b,

$B=underset{xrightarrow +infty}{lim}sqrt{x^{2}-x+1}-x=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{-x+1}{sqrt{x^{2}-x+1+x}}=-frac{1}{2}$

4.4. Tìm giới hạn của hàm số dạng 0 nhân vô cùng

Phương pháp giải: Ta biến đổi dạng của hàm số về dạng 0/0 hoặc $infty/infty$ sau đó sử dụng phương pháp giải của hai dạng này

Ví dụ: Tìm giới hạn của $A=underset{xrightarrow -infty}{lim}frac{1}{x}(sqrt{4x^{2}+1}-x)$

Lời giải:

Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm ngay từ bây giờ

5. Một số bài tập về giới hạn của hàm số từ cơ bản đến nâng cao (có lời giải)

Xem thêm : Given name là gì? Given name nghĩa là gì?

Bài 1: Tìm các giới hạn của hàm số sau đây bằng cách sử dụng định nghĩa:

1. $underset{xrightarrow 1}{lim}frac{x+1}{x-2}$

2. $underset{xrightarrow 1}{lim}frac{3x+2}{2x-1}$

3. $underset{xrightarrow 0}{lim}frac{sqrt{x+4}-2}{2x}$

4. $underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}frac{4x-3}{x-1}$

Lời giải:

Bài 2: Chứng minh các hàm số sau không có giới hạn:

1. $f(x)=sinleft(frac{1}{x}right)$ khi x tiến tới 0

2. $f(x) = cos(x)$ khi x tiến tới $+infty$

Lời giải:

Bài 3: Chứng minh $f(x)=cosleft(frac{1}{x^{2}}right)$ khi x tiến tới 0 không có giới hạn

Lời giải:

Bài 4: Tìm giới hạn sau: $A=underset{xrightarrow infty}{lim}left(sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}}+sqrt{x^{2}-2x}right)$

Lời giải:

Bài 5: Tìm giới hạn sau: $N=underset{xrightarrow +infty}{lim}left(sqrt{4x^{2}-x+1}+2xright)$

Lời giải:

$N=underset{xrightarrow +infty}{lim}frac{x+1}{2x-sqrt{4x^{2}-x+1}}=frac{1}{4}$

Bài 6: Tìm giới hạn: $M=underset{xrightarrow -infty}{lim}x-sqrt[3]{1-x^{3}}$

Lời giải:

$M=underset{xrightarrow -infty}{lim}x-sqrt[3]{1-x^{3}}=-infty$

Bài 7: Tìm giới hạn: $P=underset{xrightarrow -infty}{lim}sqrt{4x^{2}+1}-x$

Lời giải: $P=underset{xrightarrow -infty}{lim}sqrt{4x^{2}+1}-x=-infty$

Bài 8: Tính giới hạn: $underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}(x^{3}-1)sqrt{frac{x}{x^{2}-1}}$

Lời giải:

Bài 9: Tính:$underset{xrightarrow -infty }{lim}(x+1)sqrt{frac{2x+1}{x^{3}+x^{2}+1}}$

Lời giải:

Bài 10: Tính $underset{xrightarrow +infty }{lim}(1-2x)sqrt{frac{3x-11}{x^{3}-1}}$

Lời giải:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết về giới hạn của hàm số. Hy vọng các em đã hiểu khái niệm, các định lý và các dạng bài tập cũng như cách giải. Hãy tiếp tục học thêm nhiều bài học hữu ích khác trên Vuihoc.vn!

Bài viết tham khảo thêm:

Giới hạn của dãy số

Lý thuyết về cấp số nhân

Hàm số liên tục

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục