Hàm số mũ và logarit – đầy đủ lý thuyết, chi tiết bài tập

Trước khi tìm hiểu về hàm mũ và logarit, hãy đọc thông tin chung dưới đây để hiểu những quan điểm chung về kiến thức này từ các chuyên gia giảng dạy VUIHOC:

”

VUIHOC đã tổng hợp và gửi đến các học sinh tài liệu tổng hợp lý thuyết và chi tiết về chương trình hàm mũ và logarit trong trường trung học phổ thông. Hãy tải về để thuận tiện trong quá trình ôn tập môn Toán lớp 12 về hàm số mũ và logarit nhé!

Tải xuống tài liệu lý thuyết đầy đủ về hàm số mũ và logarit

1. Ôn tập lý thuyết về hàm số mũ và logarit

Định nghĩa là nền tảng để giải quyết mọi vấn đề, tính chất và định lý cao cấp về hàm số mũ và logarit. Vì vậy, trước khi ôn tập lý thuyết về hàm số mũ và logarit, chúng ta cần hiểu rõ từng định nghĩa cơ bản về từng dạng hàm số.

1.1. Tổng hợp lý thuyết về hàm số mũ

1.1.1 Định nghĩa của hàm số mũ

Theo kiến thức đã học ở trường trung học phổ thông, Hàm số $y=f(x)=a^x$ với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.

Một số ví dụ về hàm số mũ: $y=2^{x^2-x-6}$, $y=10^x$,…

1.1.2. Đạo hàm và tính chất

Ta có công thức đạo hàm của hàm số mũ như sau:

Lưu ý: Hàm số mũ luôn có hàm nghịch là hàm logarit

Chúng ta cùng xét hàm số mũ dạng tổng quát $y=a^x$ với $a>0$, $aneq 1$ có tính chất sau:

1.1.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ

Đồ thị của hàm số mũ được khảo sát và vẽ dưới dạng tổng quát như sau:

Xét hàm số mũ $y=a^x$ (a > 0; a ≠ 1).

• Tập xác định: $D=mathbb{R}$.

• Tập giá trị: T = (0; +∞).

• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0

Khảo sát đồ thị:

+ Đi qua điểm (0;1)

+ Nằm phía trên trục hoành.

+ Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

• Hình dạng đồ thị:

Chú ý: Đối với các hàm số mũ như $y=(frac{1}{2})^x$, $y=10^x$, $y=e^x$, $y=2^x$ đồ thị của hàm số mũ sẽ có dạng đặc biệt như sau:

1.2. Tổng hợp lý thuyết về hàm số logarit

1.2.1. Định nghĩa

Vì hàm mũ và hàm logarit đều có “nguyên gốc” từ hàm số, nên chúng có những đặc điểm tương đồng về định nghĩa. Hàm logarit đơn giản là hàm số có thể biểu diễn dưới dạng logarit. Theo chương trình học Đại số ở trường trung học phổ thông, hàm logarit được định nghĩa bằng công thức sau:

Cho số thực a > 0, a ≠ 1, x > 0, hàm số $y=log_ax$ được gọi là hàm số logarit cơ số a.

1.2.2. Đạo hàm và tính chất

Cho hàm số $y=log_ax$. Khi đó đạo hàm của hàm số logarit là:

Xem thêm : Cấu trúc used to và những điều cần biết

Trường hợp tổng quát hơn, cho hàm số $y=log_au(x)$. Đạo hàm của hàm số logarit là:

1.2.3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit

Xét hàm số logarit $y=log_ax$(a > 0; a ≠ 1), ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số theo các bước sau:

• Tập xác định: D = (0; +∞).
• Tập giá trị: .
• Khi $a>1$ hàm số đồng biến, khi $0
• Khảo sát hàm số:

+ Đi qua điểm (1; 0).

+ Nằm ở bên phải trục tung.

+ Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

• Hình dạng đồ thị:

2. Các dạng bài tập hàm số mũ và logarit

Đây là phần quan trọng nhất của bài viết về hàm mũ và logarit. VUIHOC đã tổng hợp tất cả các dạng bài tập cơ bản và thường gặp nhất về hàm mũ và logarit. Mỗi dạng bài tập sẽ đi kèm ví dụ và giải chi tiết để tham khảo.

2.1. Tổng hợp các dạng bài tập hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số dựa trên đồ thị và ngược lại

Đây là dạng bài cơ bản và thường gặp trong các đề thi đại học hoặc trong chương trình học hàm số mũ và logarit lớp 12. Để làm các bài tập về tìm hàm số mũ dựa trên đồ thị, ta thực hiện theo 2 bước sau:

Bước 1: Quan sát hình dạng, tính chất của các đồ thị cho trước.

Bước 2: So sánh với hàm số cho trước và rút ra kết luận.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng bài tập này:

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị

Bước 1: Quan sát đồ thị, nhận xét về tính chất của các đồ thị để suy luận về các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn 1

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số nằm trong khoảng (0;1)

Bước 2: So sánh các cơ số dựa trên đồ thị của hàm số.

Bước 3: Kết hợp các điều kiện trên để tìm mối quan hệ.

Đối với các bài toán phức tạp hơn, cần phải chú ý thêm đến các yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm số mũ

Đối với dạng bài tính đạo hàm của các hàm số mũ trong chương trình lớp 12, ta cần nắm vững các công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để áp dụng vào giải bài tập. Cụ thể, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm của hàm số cho trước.

Bước 2: Tính đạo hàm của các hàm số thành phần dựa trên công thức tính đạo hàm của các hàm số cơ bản như đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

Bước 3: Tính toán và rút ra kết luận.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn:

Dạng 4: Tính giới hạn của hàm số mũ

Xem thêm : Chuyên đề mũ và logarit – Đặng Việt Đông

Trong dạng này, chúng ta sử dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

Cách thực hiện cụ thể được minh họa trong ví dụ sau:

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn

Đây là dạng bài thuộc chuyên đề hàm số mũ và logarit thường xuất hiện trong các câu hỏi về phương trình và bất phương trình hàm số mũ – cao cấp trong các đề thi. Để làm các bài tập hàm số mũ dạng này, ta cần thực hiện theo 3 bước sau:

Bước 1: Tính y’, tìm các nghiệm $x_1$, $x_2$,… $x_n$ thuộc đoạn $[a;b]$ của phương trình $y’=0$.

Bước 2: Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$,… $f(x_n)$.

Bước 3: So sánh giá trị đã tính được ở trên và tìm GTLN, GTNN của hàm số.

• GTNN là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đã tính.
• GTLN là giá trị lớn nhất trong các giá trị đã tính.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng bài tập hàm số mũ này:

2.2. Các dạng bài tập hàm số logarit trong chuyên đề hàm số mũ và logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số logarit

Đây là dạng bài cơ bản trong bài tập về hàm số logarit. Khi giải, ta dựa vào 2 quy tắc sau:

+ Hàm số $y=a^x$ cần có điều kiện: a là số thực dương và khác 1.

+ Hàm số $y=log_ax$ cần có điều kiện: a là số thực dương và khác 1, $x>0$.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn về dạng bài tập này:

Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm số logarit

Ở dạng này, chúng ta áp dụng các công thức đạo hàm, đạo hàm logarit để biến đổi. Hãy xem ví dụ sau để hiểu cách tính đạo hàm logarit:

Dạng 3: Ứng dụng đạo hàm vào khảo sát đồ thị hàm logarit

Đây là bước tiếp theo của các bài tập dạng 2, tức là sau khi tính đạo hàm, bài tập yêu cầu chúng ta khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho. Ở đây, chúng ta áp dụng kiến thức về cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất,… để giải bài tập.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu cách giải dạng bài này:

Dạng 4: Cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số logarit với nhiều biến

Đây là một dạng bài tập ở mức độ vận dụng – vận dụng cao. Để giải các bài toán dạng này, chúng ta cần áp dụng tốt các công thức biến đổi và nắm vững các tính chất của hàm số logarit.

Chúng ta hãy xem hai ví dụ sau để hiểu cách giải các dạng toán cực trị và giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất này nhé!

3. Bài tập áp dụng hàm số mũ và logarit

Để áp dụng tốt kiến thức về hàm số mũ và logarit và làm việc nhanh hơn trong việc nhận diện đề bài, chỉ có một cách duy nhất là luyện tập nhiều để quen thuộc. VUIHOC đã biên soạn và tổng hợp riêng cho các em bộ tài liệu tổng hợp bài tập hàm số mũ và logarit kèm lời giải chi tiết đầy đủ cho các dạng trong chương trình học và các đề thi. Hãy tải về để luyện tập hàng ngày nhé!

Tải xuống bộ tài liệu bài tập hàm số mũ và logarit kèm lời giải chi tiết

Ngoài ra, các em có thể tham khảo các phương pháp giải hay, tips chọn đáp án đúng từ thầy Thành Đức Trung – giáo viên chuyên dạy môn Toán ôn thi đại học (điểm 8+) tại VUIHOC. Thầy đã có buổi livestream giải bài tập về hàm số mũ và logarit rất hữu ích, hãy xem video dưới đây để học những cách giải hay ho của thầy nhé!

Bài viết đã tổng hợp lý thuyết đầy đủ về hàm số mũ và logarit và bài tập chi tiết về phần kiến thức này. Chúc các em luôn đạt điểm cao và học tốt!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục