Công thức tính nguyên hàm từng phần và cách giải bài tập

1. Khái niệm tổng gián từng bước

1.1. Khái niệm tổng gián từng bước

Tổng gián từng bước là phương pháp giải các bài toán tính tích phân. Khi có hai hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K, công thức tổng gián từng bước là ∫udv = uv – ∫vdu.

Lưu ý: Ta áp dụng phương pháp tổng gián từng bước khi tính tích phân có dạng I = ∫f(x).g(x)dx, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 loại hàm số: hàm logarit, hàm lượng giác, hàm đa thức,…

Bạn đang xem: Công thức tính nguyên hàm từng phần và cách giải bài tập

1.2. Ví dụ về tổng gián từng bước

Ví dụ 1: Tìm tổng gián của hàm số sau:

. Ta có:

Ví dụ 2: Tìm tổng gián của hàm số ?

Giải:

Ví dụ 3: Tìm tổng gián của hàm số y = x.lnx?

Giải:

2. Tổng hợp các công thức tính tổng gián từng bước

Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên tập K. Khi đó ta có công thức tính tổng gián từng bước như sau:

Để tính tổng gián ∫f(x).g(x)dx, ta làm theo công thức sau:

Bước 1: Ta đặt:

Theo đó thì G(x) là một tổng gián bất kỳ của hàm số g(x).

– Bước 2. Theo công thức tổng gián từng bước ta có:

∫f(x).g(x)dx = f(x).G(x) – ∫G(x).f′(x)dx.

Lưu ý: Khi I = ∫f (x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 loại hàm số: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.

Các em học sinh có thể nhớ cách đặt ẩn theo câu sau:

“Nhất log (bao gồm các hàm log, ln) – Nhì đa (tức là các hàm đa thức)

Tam lượng (tức là các hàm lượng giác) – Tứ mũ ( tức là các hàm mũ)”

Câu trên là thứ tự hàm số nào đứng trước trong câu, ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Có nghĩa là:

– Trong trường hợp nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt:

– Tương tự, trong trường hợp nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt:

>> Xem thêm: Bảng công thức tính tổng gián đầy đủ nhất

3. Phương pháp giải tổng gián từng bước

Dạng 1: Tìm tổng gián của hàm số logarit

Xem thêm : Phương pháp quy nạp toán học – Giải bài tập SGK Toán 11

Tính tổng gián của hàm số logarit sau:

với f(x) là một hàm của đa thức

Phương pháp giải:

• Bước 1: Ta tiến hành đặt

• Bước 2: Sau khi làm xong bước 1 ta biến đổi hàm số về dạng

Dạng 2: Tổng gián của hàm số mũ

Tính tổng gián của hàm số mũ sau:

với f(x) là một hàm đa thức

Phương pháp:

• Bước 1: Ta tiến hành đặt

• Bước 2: Dựa vào bước đặt ở bước 1, ta có: ∫f(x)e ax+b dx=uv-∫vdu

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính tổng gián của hàm số lượng giác:

hoặc

Lời giải

• Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau:

• Bước 2: Ta biến đổi thành

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính tổng gián kết hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ:

hoặc

Các bước giải như sau:

• Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

• Bước 2: Khi đó, tổng gián sẽ tính theo công thức tổng quát uv-∫vdu

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy tổng gián từng bước 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt:

4. Cách giải dạng bài tập tổng gián từng bước có đáp án

Dạng 1: Tìm tổng gián của hàm số logarit

Ví dụ: Tìm tổng gián của hàm số f(x) = x.lnx

Lời giải:

Dựa vào phương pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Bước 1: Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

Bước 2: Theo công thức tính tổng gián từng bước, ta có:

Ví dụ: Tính tổng gián của biểu thức sau I = ∫xexdx

Lời giải

Xem thêm : Văn mẫu lớp 11: Phân tích Bài ca ngắn đi trên bãi cát hay nhất 2 Dàn ý & 10 bài văn mẫu lớp 11 siêu hay

Dựa theo phương pháp trên, ta tiến hành đặt

Theo công thức tính tổng gián từng bước, ta có:

>> Xem thêm: Công thức tổng gián lnx và cách giải các dạng bài tập

Dạng 2: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Tính tổng gián của hàm số lượng giác:

hoặc

Lời giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau:

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành:

Để hiểu hơn, ta cùng xem ví dụ sau đây:

Ví dụ: Tính tổng gián của hàm số sau A = ∫xsinxdx

Lời giải:

Đây là một tổng gián kết hợp giữa tổng gián lượng giác, bạn hãy làm như sau:

Dựa theo phương pháp trên, ta đặt như sau:

Theo công thức tổng gián từng bước ta có:

>> Xem thêm: Cách tính tổng gián của tanx bằng công thức cực hay

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Tính tổng gián của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây I = ∫sinx.exdx

Lời giải

Đây là một tổng gián kết hợp giữa tổng gián lượng giác, tổng gián của e mũ u. Bạn hãy làm như sau:

Ta tiến hành đặt như sau

Khi đó, tổng gián trở thành:

Lúc này ta tính: J = ∫cosx.ex.dx

Để tính được J, bạn cần lấy tổng gián từng bước 2 lần. Cụ thể là

Đặt như sau:

Khi đó:

Như vậy, trong bài viết này VUIHOC đã giúp các em hiểu về khái niệm cũng như các công thức tổng gián từng bước cùng các bài tập nhằm giúp các em áp dụng hiệu quả. Ngoài ra, để luyện tập thêm nhiều bài tập cho thật thành thạo các em, hãy truy cập ngay tại Vuihoc.vn và đăng ký khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!

>> Xem thêm: Phương pháp tính tích phân từng bước và ví dụ minh họa

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục