Phép Đối Xứng Trục Là Gì? Công Thức Và Bài Tập Vận Dụng

1. Định nghĩa Đối xứng trục

Định nghĩa:

Đối xứng trục là phép biến đổi mỗi điểm M nằm trên đường thẳng d thành chính nó, mỗi điểm M không nằm trên d thành M’ trên đường thẳng trung trực của MM’. Khi đó, ta gọi d là đường trục đối xứng.

• d được gọi là đường trục đối xứng.

• Đối xứng trục d được ký hiệu là Đ_d.

Hình H có H’ là ảnh của nó thông qua đối xứng trục d, ta nói H và H’ đối xứng nhau qua d.

Nhận xét:

Cho đường thẳng d, mỗi điểm M có điểm $M_{0}$ là hình chiếu vuông góc của M trên d. Điều này có nghĩa là $M” = Đ_{d}(M) Leftrightarrow overrightarrow{M_{0}M’}=overrightarrow{M_{0}M}$.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của đường thẳng AB và điểm A, B thông qua đối xứng trục Ox.

Giải:

Ta có ảnh của A và B lần lượt là A’ và B’ thông qua đối xứng trục Ox, có tọa độ A'(1; 2) và B'(3; -1).

A’B’ là ảnh của AB qua đối xứng trục Ox.

Phương trình đường thẳng A’B’: $frac{x – 1}{3 – 1} = frac{y – 2}{-1 – 2} Leftrightarrow frac{x – 1}{2}=frac{y – 2}{-3}Leftrightarrow 3x + 2y – 7=0$

Đường thẳng AB qua đối xứng trục là: $3x + 2y – 7=0$

2. Công thức tọa độ của Đối xứng trục

3. Tính chất

• Trong đối xứng trục, khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ luôn được bảo toàn.

• Đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, đường thẳng thành đường thẳng, đường tròn thành đường tròn cùng bán kính và biến tam giác thành tam giác bằng nó.

4. Đường trục đối xứng của một hình

Đường thẳng d được gọi là đường trục đối xứng của hình H khi phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Vì vậy, H là hình có đường trục đối xứng.

Ví dụ: Điểm M(1; 3) cần tìm tọa độ M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy và tọa độ M’’ là ảnh của M’ qua trục Ox.

Giải:

5. Một số dạng bài tập về Đối xứng trục lớp 11 (có lời giải)

5.1. Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua đối xứng trục

Để xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua đối xứng trục, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:

• Dựa vào định nghĩa của đối xứng.

• Sử dụng công thức tọa độ với trục đối xứng d cũng là trục tọa độ Ox, Oy.

• Sử dụng công thức vectơ của đối xứng.

Ví dụ:

Cho mặt phẳng Oxyz và điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của B, A và đường thẳng AB qua trục Ox.

Giải:

Thông qua đối xứng trục Ox, ta có A’ là ảnh của A với tọa độ A'(1; 2).

Thông qua đối xứng trục Ox, ta có B’ là ảnh của B với tọa độ B'(3; -1).

Ảnh của AB qua đối xứng trục Ox là A’B’ nên A’B’ có phương trình:

$frac{x – 1}{3 – 1}=frac{y – 2}{-1 – 2} Rightarrow 3x + 2y – 7=0$

5.2. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua đối xứng trục

Để tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng và đường tròn qua đối xứng trục, chúng ta thực hiện các bước sau:

• Tìm điểm I’ là ảnh của I, tâm của đường tròn C qua đối xứng.

• Xem thêm : Công thức phép tịnh tiến đầy đủ, chi tiết nhất – Toán lớp 11

  Viết phương trình đường tròn C’ với tâm I’ và bán kính R’ = R.

• Sử dụng công thức tọa độ trong trường hợp trục đối xứng là Oy hoặc Ox.

Ví dụ:

Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường tròn C: $(x – 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$. Viết phương trình đường tròn C’ là ảnh của đường tròn C qua đối xứng trục Oy.

Giải:

Đường tròn C có tâm I(2;-5) và bán kính R = 4.

Ảnh của I(2;-5) qua Oy là I'(-2;-5).

Nên ảnh của C qua trục Oy là: C’: $(x – 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$.

5.3. Dạng 3: Chỉ ra các hình có đường trục đối xứng

• Hình có đường thẳng d chia hình thành hai phần mà nếu gấp hình theo d thì hai phần đó về sau khớp hoàn toàn với nhau. Các hình như vậy được gọi là có đường trục đối xứng qua d.

Ví dụ: Trong 3 hình dưới đây, hình nào có đường trục đối xứng?

Giải:

a, b là hai hình không có đường trục đối xứng.

c là hình có đường trục đối xứng và được biểu diễn như sau:

Trên đây là toàn bộ lý thuyết, công thức và bài tập Đối xứng trục thường gặp trong chương trình môn Toán lớp 11. Hy vọng rằng qua bài viết này, các em đã hiểu thêm về Đối xứng trục và tự tin hơn khi giải các bài tập liên quan. Để nâng cao kiến thức toán học lớp 11, hãy truy cập ngay trang web Vuihoc.vn!

Bài viết tham khảo thêm:

Phép tịnh tiến

Phép đối xứng tâm

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục