Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

1. Định nghĩa giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm số – Toán học lớp 12

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn hay khoảng chính là giá trị mà hàm số đạt được tại ít nhất một điểm trên đoạn đó. Có những hàm số không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất dù có cận trên và cận dưới trên khoảng đó mà ta đang xét.

Cho hàm số y = f(x) và xác định trên tập D:

Bạn đang xem: Toán 12 Giá Trị Lớn Nhất Nhỏ Nhất Của Hàm Số: Lý Thuyết Và Các Dạng Toán

• Nếu f(x) ≤ M với x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Max f(x) = M

• Nếu f(x) ≥ M với mọi x ∈ D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D.

Kí hiệu: Min f(x) = m

Ta có sơ đồ sau:

2. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lớp 12

2.1. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên miền D

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D xác định, ta sẽ khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, sau đó dựa vào kết quả bảng biến thiên của hàm số để đưa ra kết luận về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:

$y=x^{3}-3x^{2}-9x+5$

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau: $y=frac{x^{2}+2x+3}{x-1}$

Phương pháp giải:

2.2. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên một đoạn

Theo định lý, mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó. Vậy quy tắc và phương pháp để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn a, b là:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=-frac{1}{3}x^{3}+x^{2}+2x+1$ trên đoạn $left[-1,0right]$

Giải:

Xem thêm : Phân tích bài Người lái đò sông Đà- Nguyễn Tuân

Ta có: $f(-1) =frac{11}{3}$ và $f(0) = 1$

3.3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu $t= sin x$ hoặc $t= cos x$ ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu $t= |cos x|$ hoặc $t=cos^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu $t= |sin x|$ hoặc $t=sin^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu $t = sin x ± cos x = sqrt{2}sin(x± frac{pi}{4}) ⇒ -sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$

• Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ

• Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ

• Kết luận

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = 2cos 2x + 2sin x$

Ta có $y= f(x) = 2(1 – 2sin^2 x) + 2sin x = -4sin^2 x + 2sin x +2$

Đặt $t = sin x, t in [-1; 1]$, ta được $y = -4t^2 + 2t +2$

Ta có $y’ = 0 Leftrightarrow -8t + 2 = 0 Leftrightarrow t = frac{1}{4}$ ∈ (-1; 1)

Vì $f(-1)=-4$, $f(1)=6$ và $f(frac{1}{4})=frac{9}{4}$, nên M = 6 và m = -4

3.4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi cho đồ thị hoặc biến thiên

Ví dụ 1: Hàm số y = f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R biết f(-4) > f(8)?

Ví dụ 2: Cho đồ thị như hình dưới và hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3]

Giải

Xem thêm : Văn mẫu lớp 8: Thuyết minh về chùa Hương (Dàn ý + 8 Mẫu) Giới thiệu danh lam thắng cảnh Chùa Hương

Từ đồ thị suy ra: m = f(2) = -2, M = f(3) = 3

Vậy M – m = 5

Đăng ký ngay để sở hữu bí kíp nắm trọn kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài trong đề THPT Quốc Gia

3.5. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác

Phương pháp:

Điều kiện của các ẩn phụ

– Nếu $t= sin x$ hoặc $t= cos x$ ⇒ -1 ≤ t ≤ 1

– Nếu $t= |cos x|$ hoặc $t=cos^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

– Nếu $t= |sin x|$ hoặc $t=sin^{2}x$ ⇒ 0 ≤ t ≤ 1

Nếu $t = sin x ± cos x = sqrt{2}sin(x± frac{pi}{4}) ⇒ -sqrt{2} leq t leq sqrt{2}$

• Tìm điều kiện cho ẩn phụ và đặt ẩn phụ

• Giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số theo ẩn phụ

• Kết luận

Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y = sin^3 x + cos^3 x$ trên khoảng $(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$

Ta có $y = sin^3 x + cos^3 x = (sin x + cos x)(sin^2 x – sin xcos x + cos^2 x)$

• Điều kiện cho $t= sin x + cos x$ là $-2 leq t leq 2$

• Điều kiện cho $sin^2 x – sin xcos x + cos^2 x$ là $0 leq t leq 2$

Từ đó, ta có $0 leq y leq 8$

Một số ví dụ khác:

• Hàm số $y = sin x$ trên khoảng $left[0, frac{pi}{2}right]$ có giá trị lớn nhất là 1 và nhỏ nhất là 0.
• Hàm số $y = cos x$ trên khoảng $left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}right]$ có giá trị lớn nhất là 1 và nhỏ nhất là -1.

Hy vọng bài viết trên sẽ giúp các bạn học sinh lớp 12 hiểu thêm về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trong chương trình toán 12 cũng như trong quá trình ôn thi toán tốt nghiệp THPT. Các bạn có thể truy cập Vuihoc.vn để tham gia những khóa học dành cho học sinh lớp 12 nhé!

>>> Bài viết tham khảo thêm:

Lý thuyết và bài tập về đường tiệm cận

Cách tìm tập nghiệm của phương trình logarit

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục