Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 10

1. Khái niệm về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Để hiểu về khái niệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, ta cần nắm rõ định nghĩa sau:

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f(x)$ được xác định trên tập D.

Bạn đang xem: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số – Toán lớp 10

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên D khi và chỉ khi $f(x) leq M$ với mọi $x in D$ và tồn tại $x_0 in D$ thoả mãn $f(x_0)=M$. Ký hiệu $M=max f(x)$

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên D khi và chỉ khi $f(x) geq m$ với mọi x thuộc D và tồn tại $x_0 in D$ thoả mãn $f(x_0)=m$. Ký hiệu $m=min f(x)$

Tổng quát cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một hàm số:

2. 5 dạng bài tập điển hình tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 10

Có rất nhiều dạng bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số. Tuy nhiên, từ việc tổng quát hoá và tập hợp chung chúng lại, VUIHOC nhận thấy có 5 dạng bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số điển hình như sau:

2.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Một số bước giải thực hiện như sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số (nếu chưa có trong đề bài)

Bước 2: Tính $f'(x)$, giải phương trình $f'(x)=0$ để tìm giá trị $x_1, x_2, x_3,…$

Bước 3: Tính giá trị $f(x_1), f(x_2), f(x_3),…$ và $f(a), f(b)$

Bước 4: So sánh và kết luận.

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $y=x^3-3x^2+1$ trên đoạn [1;2]. Tính tổng M+m?

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số y là $D=mathbb{R}$

Ta có:

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;$pi$]

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục và luôn đồng biến trên đoạn [a;b]. Hỏi hàm số $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y=f(x)$ liên tục và luôn đồng biến trên [a;b] $Rightarrow$ với mọi $x in [a;b]$ thì $f(b) leq f(x) leq f(a)$.

Suy ra hàm số $y=f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm $x=a$.

2.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Phương pháp giải dạng toán này tương tự như dạng 1, nhưng được thực hiện trên một khoảng khác. Tuy nhiên, có những hàm số có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên tập xác định nhưng không tồn tại trên khoảng được yêu cầu trong đề bài. Với những bài toán “đánh đố” này, nhiều học sinh thường mắc phải khó khăn. Hãy cùng VUIHOC tìm hiểu phương pháp chung để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng.

Phương pháp giải theo cách tự luận:

Xét khoảng hoặc nửa khoảng D, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính toán $f'(x)$, giải phương trình $f'(x)=0$ để tìm nghiệm trên tập D.

• Bước 2: Lập bảng biến thiên cho hàm số trên tập D.

• Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về vai trò của gia đình (Dàn ý + 14 Mẫu) Viết đoạn văn ngắn về vai trò của gia đình

  Bước 3: Dựa vào bảng biến thiên và định lý giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, ta suy ra kết quả của bài toán.

Phương pháp giải bằng máy tính CASIO:

• Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên khoảng (a;b), ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (MODE 9 để lập bảng giá trị).

• Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất sẽ là giá trị max, giá trị nhỏ nhất sẽ là giá trị min.

Đặt miền giá trị của biến x là [Start; End] với bước (Step) (có thể làm tròn để bước (Step) đẹp).

Lưu ý: Khi đề bài có sự xuất hiện các hàm lượng giác như sinx, cosx, tanx,… ta chuyển máy tính về chế độ Radian.

Ví dụ 1:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=-3x^2+3x+1$ trên khoảng (1;+∞)

Hướng dẫn giải:

Tập xác định của hàm số y là $D=(0;+infty)$

Ta có:

Xét bảng biến thiên:

Kết luận: hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 và không tồn tại giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 10 $y=x+frac{4}{x}$ trên khoảng (0; +∞)

Hướng dẫn giải (có thể giải theo 2 cách):

Cách 1: Vì hàm số xác định trên khoảng (0;+∞) nên $x>0$ và $frac{4}{x}>0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $x$ và $frac{4}{x}$ ta được:

Kết luận: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4, dấu bằng xảy ra khi $x=2$.

Cách 2:

Tập xác định của hàm số: $D=(0;+infty)$

Ta có:

Lập bảng biến thiên:

Kết luận: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4, dấu bằng xảy ra khi x=2

2.3. Dạng 3: Áp dụng GTLN, GTNN vào giải bài toán thực tế

Bài toán thực tế là những bài toán khá mới và khó, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt trong phương pháp giải đồng thời biết cách kết hợp các phương pháp khác nhau để đưa ra kết quả chính xác. Một dạng bài toán thực tế xuất hiện khá phổ biến trong chương trình học cũng như các kỳ thi quan trọng, đó là áp dụng tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số để giải quyết các vấn đề thực tế. Cùng VUIHOC xem các ví dụ sau đây.

Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Xem thêm : Thuyết minh về Cát Bà | Danh lam thắng cảnh tại Hải Phòng

Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a, b $Rightarrow$ $a+b=4$

Ta có:

Kết luận: Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là $4m^2$.

Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh dài 18cm. Thợ cơ khí cắt 4 góc của tấm nhôm đó để lấy ra 4 hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, sau đó gấp tấm nhôm lại thành một chiếc hộp không có nắp. Tìm x để chiếc hộp sau khi gấp lại có thể tích lớn nhất?

Hướng dẫn giải:

Khối hộp có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng $18-2x$, chiều cao của khối hộp là x.

2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để giá trị lớn nhất của hàm số $y = |f(x) + g(m)|$ trên đoạn [a; b] đạt giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số cho trước.

• Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của số $y=left | f(x)+g(m) right |$ thì:

M = max$, $ ≥ $|alpha + g(m)|$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $|alpha + g(m)| = |beta + g(m)|$

Áp dụng bất đẳng thức, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [α + g(m)] . [β + g(m)] ≥ 0

• Bước 3. Kết luận.

Ví dụ 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |$x^2 + 2x + m – 4$| trên đoạn [-2;1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x)=x^2+2x$. Ta có:

$f'(x)=2x+2$

$f'(x)=0$ ⇔ x = $-1$ thuộc đoạn [-2; 1]

$f(-2)=0; f(1)=3; f(-1) = -1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

⇒ m = 3 (thỏa mãn)

Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 3: Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số sau:

Hướng dẫn giải:

Đăng ký ngay để được tư vấn việc ôn tập và xây dựng lộ trình ôn thi sớm nhất và hiệu quả nhất phù hợp với mình.

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lớp 10. Hy vọng rằng qua bài viết này, các em học sinh sẽ không gặp khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến cực tiểu cực đại của hàm số. Để học và đọc thêm về các kiến thức Toán lớp 10, Toán THPT,… các em có thể truy cập trang web giáo dục vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây nhé!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục