Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài

Trong bài viết này, VerbaLearn sẽ giúp bạn hiểu và phân tích cách giải bài toán tìm m để hàm số đồng biến và nghịch biến trên đoạn có độ dài là 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Một bài toán thú vị trong môn toán lớp 12, nó cũng là bài toán áp dụng phương pháp tìm m để thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số cũng như sử dụng định lý Vi-ét, một kiến thức quan trọng khi nghiên cứu về hàm số.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên đoạn có độ dài

Dạng 1: Dạng tổng quát

Cách giải

Tìm m sao cho hàm số y = ax3 + bx2 + x + d có độ dài đoạn đồng biến (nghịch biến) = l. (l = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …)

Bạn đang xem: Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn có độ dài

• Bước 1: Tính y’ = f’(x).
• Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có đoạn đồng biến và nghịch biến: (1)
• Bước 3: Biến đổi |x1 – x2| = l thành (x1 – x2)2 – 4×1․x2 = l2 (2).
• Bước 4: Sử dụng định lý Vi-ét biến phương trình (2) thành phương trình theo m.
• Bước 5: Giải phương trình và so sánh với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Nhắc lại định lý Vi-ét

Ứng dụng định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

Dạng 2: Đoạn có độ dài bằng l

Cách giải

Bài toán này tương tự như dạng tổng quát. Ở bước 3, ta giải phương trình (2) sau khi biết độ dài của đoạn.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + m nghịch biến trên đoạn có độ dài chính xác bằng 2

A. m = 0

B. m < 3

C. m = 2

D. m > 3

Lời giải

Đáp án: A

Đạo hàm: y’ = 3×2 + 6x + m.

Xét phương trình y’ = 0 hay 3×2 + 6x + m = 0 (*)

Ở đây, để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2, thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm là x1 và x2 và |x1 – x2| = 2

Theo định lý Vi-ét ta được

Giải |x1 – x2| = 2 ⇔ (x1 – x2)2 = 4

⇔ (x1 + x2)2 – 4×1․x2 = 4 ⇔ m = 0

Vậy m = 0

Câu 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng .

Lời giải

Xét hàm số , ta có

Để hàm số nghịch biến, ta cần:

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng nên:

Theo định lí Vi-et, ta có:

,

So sánh với điều kiện (*), ta kết luận: Không có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

Dạng 3: Đoạn có độ dài lớn hơn l hoặc nhỏ hơn l

Cách giải

Xem thêm : Nắm trọn kiến thức pt mũ và logarit

Từ bước 1 và bước 2 của dạng tổng quát, chúng ta thực hiện theo dạng này. Tuy nhiên, tại bước 3, phương trình sẽ được thay thế bằng một bất phương trình.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài nhỏ hơn 1

1) Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; +∞).

2) Tìm m để hàm số y = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên một khoảng có độ dài nhỏ hơn 1.

Lời giải

1)

Tập xác định D = ℝ

Ta có: y’ = x2 – 2mx + 1 – 2m

Hàm số đồng biến trên (1; +∞) ⇔ y’ ≥ 0

⇔ x2 – 2mx + 1 – 2m ≥ 0 ⇔ x2 + 1 ≥ 2m (x + 1)

⇔ (vì x + 1 > 0 khi x > 1)

Xét hàm số , x ∊ (1; +∞)

, ∀ x ∊ (1; +∞)

Suy ra f(x) ≥ 2m, ∀ x ∊ (1; +∞) ⇔ f(1) ≥ 2m

⇔ 1 ≥ 2m ⇔ m ≤ ½

2) y = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3

TXÐ: D=R

Ta có: y’ = -3×2 + 6x + m-1, ∆’ = 3m +6

Nếu m ≤ -2 ⇒ ∆’ ≤ 0 ⇒ y’ ≥ 0 ∀ x ∊ ℝ

⇒ Hàm số nghịch biến trên ℝ nên hàm số không có đoạn đồng biến.

Nếu m > -2 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm x1 < x2 và y’ ≤ 0 ⇔ x ∊ [x1;x2]

⇒ Yêu cầu bài toán ⇔ |x1 – x2| < 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4×1․x2 < 1

Đây là những giá trị cần tìm.

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị m thực sao cho f(x) = -x3 + 3×2 + (m – 1) x + 2m – 3 đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1.

A. m ≥ 0

B. m ≤ 0

C.

D.

Lời giải

Đáp án: D

Đạo hàm y’ = -3×2 + 6x + m – 1.

Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 1 khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2, thỏa mãn |x1 – x2| = 1.

Theo định lý Vi-ét ta có

Để |x1 – x2| > 1 ⇔ (x1 – x2)2 > 1 ⇔ (x1 + x2)2 – 4×1․x2 > 1

⇔ 4m + 5 > 0 hoặc

Phối hợp với điều kiện ta nhận được:

Câu 3. Tìm m để hàm số y = 2×3 + 3(m – 1) x2 + 6(m – 2) x + 3 nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3.

A. m > 6

B. 0 < m < 6

C. m < 0

D. m < 0 hoặc m > 6

Lời giải

Đáp án: D

Tập xác định D = ℝ.

Ta có đạo hàm y’ = 6×2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2)

Xét phương trình y’ = 0 hay 6×2 + 6(m – 1) x + 6(m – 2) = 0

Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3 khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn |x1 – x2| > 3 (1)

Tương đương với:

Tài liệu tham khảo

Chuyên đề tính đơn điệu của hàm số – Thầy Hoàng Xuân Nhàn – 52 trang

Các dạng toán về hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến – Thầy Nguyễn Bảo Vương – 59 trang

Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan – Thầy Phùng Hoàng Em – 17 trang

Bài tập trắc nghiệm VDC tính đơn điệu của hàm số – 34 trang

Bài tập trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m – VerbaLearn – 28 trang

Bài toán vận dụng cao về tính đơn điệu của hàm số – Thầy Nguyễn Công Định – 126 trang

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục