Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – lý thuyết và bài tập Toán 10

1. Định nghĩa bất phương trình bậc nhất với hai ẩn

Bất phương trình bậc nhất với hai ẩn x và y có dạng tổng quát như sau:

$ax+byleq c(ax+byc)$

Bạn đang xem: Bất phương trình bậc nhất 2 ẩn – lý thuyết và bài tập Toán 10

Trong đó:

• a, b, c là các số thực đã cho

• a và b không đồng thời bằng 0

• x và y là các biến (ẩn số)

Cặp số (x0, y0) mà thỏa mãn $ax_0+by_0leq c$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax+byleq c$.

Ví dụ về bất phương trình bậc nhất với hai ẩn: $4x+2y>1$; $x-2y<-2$;...

2. Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn

2.1. Định lý

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn được biểu diễn trên mặt phẳng Oxy. Trên mặt phẳng Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ chính là nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ: Miền nghiệm (phần không bị gạch) của bất phương trình $3x-2y>-6$ được biểu diễn như hình dưới đây:

2.2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn

Cho mặt phẳng Oxy, có đường thẳng d: $ax+by+c=0$ chia mặt phẳng Oxy thành 2 nửa, một trong hai nửa chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình bậc nhất với hai ẩn $ax+by+c>0$, nửa còn lại chứa các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình bậc nhất với hai ẩn $ax+by+c<0$.

Để xác định và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $ax+b+c<0$, học sinh sẽ thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$

• Bước 2: Chọn điểm $M(x_0;y_0)$ không thuộc đường thẳng d. Thường thì điểm M được chọn là gốc tọa độ.

• Bước 3: Tính $ax_0+by_0$ và so sánh giá trị với c.

• Bước 4: Kết luận

  • Nếu $ax_0+by_0

  • Nếu $ax_0+by_0>c$ thì miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng không chứa điểm $M_0$

Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình $ax_0+by_0

Xem ví dụ dưới đây để hiểu rõ hơn cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn lớp 10:

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình với hai ẩn $2x-ygeq 0$

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

Trên mặt phẳng Oxy, vẽ đường thẳng $(d):2x-y=0$. Ta có đường thẳng (d) chia mặt phẳng Oxy thành 2 nửa. Chọn điểm $M(1;0)$ không thuộc đường thẳng (d), ta thấy M là nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn đã cho.

Vì vậy, miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng bị gạch (d) và chứa điểm $M(1;0)$ (miền không được tô màu xanh trong hình).

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)$

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

$Leftrightarrow -x+2+2(y-2)<2(1-x)$

$Leftrightarrow -x+2+2y-4<2-2x$

$Leftrightarrow x+2y<4 (1)$

Xem thêm : Bài tập mệnh đề logic có lời giải | Có file PDF chi tiết

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

• Vẽ đường thẳng $x+2y=4$

• Thay vào (0;0) vào bất phương trình (1), ta có được 0+0<4 => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình dưới đây.

Ví dụ 3: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất với hai ẩn: $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

$Leftrightarrow 3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

$Leftrightarrow 3x-3+4y-8<5x-3$

$Leftrightarrow -2x+4y<8$

$Leftrightarrow x-2y>-4 (2)$

Xem thêm : Bài tập mệnh đề logic có lời giải | Có file PDF chi tiết

Biểu diễn miền nghiệm trên mặt phẳng Oxy:

• Vẽ đường thẳng $x-2y=-4$

• Thay vào (0;0) vào bất phương trình (2), ta có: 0+0>-4 (đúng) => (0;0) là một nghiệm của bất phương trình.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình đề bài là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình dưới đây.

3. Hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn

Hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn cũng tương tự như hệ bất phương trình một ẩn đã học ở các bài trước.

Hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất với hai ẩn x và y mà ta cần tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn đã cho.

Cũng giống như bất phương trình bậc nhất với hai ẩn, ta có thể biểu diễn miền nghiệm của hệ với các bước thực hiện tương tự như xét bất phương trình bậc nhất với hai ẩn. Để hiểu rõ cách xét miền nghiệm dạng hệ bất phương trình, hãy xem ví dụ dưới đây:

Ví dụ 1: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn sau:

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau đây:

$d_1: 3x+y=6$

$d_2: x+y=4$

$d_3: x=0(Oy)$

$d_4: y=0(Ox)$

Do điểm $M_0(1;1)$ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ, nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm $M_0$. Miền không được tô đậm trong hình dưới đây chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn đề bài.

Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn sau:

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

Vẽ đường thẳng $(d):x+y-2=0$, $(d’’):x-3y+3=0$ trên mặt phẳng Oxy.

Xét điểm gốc tọa độ $O(0;0)$: Điểm O không là nghiệm của bất phương trình $x+y-2geq 0$ và $x-3y+3leq 0$.

Như vậy, miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng không được tô màu ở hình dưới đây.

Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn sau:

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

Vẽ các đường thẳng sau trên mặt phẳng Oxy:

$(d):x+y=0$

$(d’):2x-3y+6=0$

$(d’’):x-2y+1=0$

Xét điểm $O(0;0)$: Điểm O là nghiệm của bất phương trình $2x-3y+6>0$ và $x-2y+1geq 0$.

Xét điểm $M(1;0)$: Điểm M là nghiệm của bất phương trình $x+y>0$ => điểm M thuộc miền nghiệm của bất phương trình $x+y>0$.

Vậy miền nghiệm cần tìm là phần mặt phẳng không được tô màu trong hình dưới đây.

4. Áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn vào bài toán kinh tế

Hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn thường được áp dụng rất nhiều vào các bài toán kinh tế thực tế. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính.

Hãy xem ví dụ dưới đây để hiểu cách giải bài toán kinh tế áp dụng hệ bất phương trình bậc nhất với hai ẩn:

Ví dụ: Có 1 xưởng sản xuất 2 loại sản phẩm, mỗi cân sản phẩm loại I cần 2 cân nguyên liệu và 30 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 40.000 đồng. Mỗi cân sản phẩm loại II cần 4 cân nguyên liệu và 15 giờ sản xuất, mức lợi nhuận đem lại là 30.000 đồng. Xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc. Hỏi giám đốc của xưởng nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu cân để có mức lợi nhuận cao nhất?

Xem thêm : Tên các loài động vật bằng tiếng Anh

Hướng dẫn giải:

Đặt x $(x_0)$ là số cân của loại I cần sản xuất, y $(y_0)$ là số cân của loại II cần sản xuất.

Từ đề bài, ta có: số nguyên liệu cần sử dụng là $2x+4y$, thời gian là $30x+15y$, mức lợi nhuận thu được là $40000x+30000y$.

Giả sử xưởng có 200 cân nguyên liệu và 120 giờ làm việc => $2x+4yleq 200$ hoặc $x+2y-100leq 0$, $30x+15yleq 1200$ hay $2x+y-80leq 0$.

Vậy bài toán trở thành: Tìm x và y thỏa mãn hệ bất phương trình để H(x;y)=40000x+30000y đạt giá trị lớn nhất.

Trên mặt phẳng Oxy, vẽ các đường thẳng $(d’):x+2y-100=0$ và $(d’’):2x+y-80=0$.

Lúc đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là phần mặt phẳng không được tô màu trong hình dưới đây.

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=40000x+30000y đạt giá trị tại một trong các điểm (0;0), (40;0), (0;50), (20;40).

Ta có: H(0;0)=0, H(40;0)=1600000, H(0;50)=1500000, H(20;40)=2000000

Giá trị lớn nhất của H(x;y)=2000000 khi (x;y)=(20;40)

Vậy xưởng cần sản xuất 20 cân sản phẩm loại I và 40 cân sản phẩm loại II để có mức lợi nhuận cao nhất.

Bài viết đã tổng hợp toàn bộ lý thuyết về bất phương trình bậc nhất với hai ẩn Toán lớp 10, kèm theo ví dụ có lời giải chi tiết để giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về những kiến thức mà VUIHOC muốn truyền đạt. Để đọc và học thêm nhiều kiến thức về Toán lớp 10, Toán THPT,… các em có thể truy cập vuihoc.vn hoặc đăng ký tại đây nhé!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục