Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Nguyên hàm là một trong những khái niệm quan trọng trong môn Giải tích Toán 12 và thường được sử dụng nhiều trong các kỳ thi đại học. Vậy có những công thức nguyên hàm quan trọng nào chúng ta cần nhớ? Team Marathon Education sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bảng công thức nguyên hàm từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải bài tập nguyên hàm phổ biến thông qua bài viết dưới đây.

>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập

Bạn đang xem: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết

Khái niệm nguyên hàm là gì?

Trước khi chúng ta tìm hiểu về công thức nguyên hàm, hãy nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các tính chất và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, khi đó hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) (với mọi x ∊ K, K có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn trên ℝ).

Kí hiệu của nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Định lý nguyên hàm

Có 3 định lý về nguyên hàm:

• Định lý 1: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó, với mọi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x).
• Định lý 2: Trên K, nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số tùy ý.
• Định lý 3: Trên K, tất cả các hàm số f(x) liên tục đều có nguyên hàm.

Tính chất nguyên hàm

Có 3 tính chất cơ bản của nguyên hàm như sau:

Bảng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản, Mở Rộng Và Nâng Cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều có các công thức riêng. Các công thức này đã được tổng hợp thành các bảng dưới đây để bạn có thể dễ dàng phân loại, ghi nhớ và áp dụng một cách chính xác.

Bảng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản

Bảng Công Thức Nguyên Hàm Mở Rộng

Bảng Công Thức Nguyên Hàm Nâng Cao

Bảng Nguyên Hàm Các Hàm Số Lượng Giác

2 Phương Pháp Giải Bài Tập Nguyên Hàm Phổ Biến

Phương pháp đổi biến số

Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi giải nguyên hàm. Vì vậy, chúng ta cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm một cách nhanh chóng và chính xác.

Phương pháp đổi biến loại 1:

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục để f[u(x)] xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C

Cách giải:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) và tính đạo hàm hai vế: dt = φ'(t)dt.

Sau đó, biến đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp đổi biến loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K và x = φ(t) là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là φ'(t). Lúc này:

∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) và tính đạo hàm hai vế: dx = φ'(t)dt.

Thực hiện biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu hai hàm số u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

Cách giải:

Trước hết, chúng ta cần biểu diễn tích phân đầu tiên dưới dạng:

Xem thêm : Thuyết Minh Về Thác Dambri Bảo Lộc ❤️️13 Bài Hay Nhất

Tiếp theo, đặt:

Lúc này chúng ta sẽ có:

Tùy vào từng dạng toán cụ thể mà chúng ta áp dụng phương pháp phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1:

Dạng 2:

Dạng 3:

>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất

Bài tập về công thức nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu định nghĩa nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng.

b. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra ví dụ minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác định trên tập xác định D.

Hàm số Y = F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D nếu Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được định nghĩa như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, khi đó ta có công thức:

∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hay ∫udv = uv – ∫vdv

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số A = ∫xexdx

Lời giải:

Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Nêu định nghĩa tích phân hàm số f(x) trên đoạn [a;b]

b. Tính chất của tích phân là gì? Nêu ví dụ cụ thể.

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Xét hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b], gọi F(x) là nguyên hàm của f(x) trên [a;b]

Khi đó, tích phân cần tìm là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:

Xem thêm : Căn bậc 3 – Toán lớp 9

b. Tích chất của tích phân:

Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tìm nguyên hàm của các hàm số đã cho dưới đây:

Hướng dẫn giải bài tập:

a. Ta có:

Suy ra

b. Ta có:

Suy ra:

c. Ta có:

Suy ra:

d. Với bài tập này, bạn có thể làm theo cách giải thông thường là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi áp dụng tính nguyên hàm cho từng hàm nhỏ. Hoặc bạn cũng có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để giải tìm nguyên hàm như sau:

Ta có:

Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

Tính một số nguyên hàm sau:

Hướng dẫn giải bài tập:

Đề THPT Chuyên KHTN Lần 4

Đề bài:

Cho các số nguyên a và b thỏa mãn

Hãy tính tổng P = a + b

Hướng dẫn giải bài tập:

Đề thi thử Sở Giáo Dục Bình Thuận

Đề bài:

Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tổng tích phân:

Hướng dẫn giải bài tập:

Đối với dạng bài nâng cao này, chúng ta sẽ kết hợp 2 phương pháp là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.

Tham khảo ngay các khoá học trực tuyến của Marathon Education

Qua bài viết trên, Team Marathon Education đã chia sẻ cho bạn lý thuyết cơ bản về nguyên hàm, bảng công thức nguyên hàm cơ bản và mở rộng, cũng như các công thức nguyên hàm quan trọng cần ghi nhớ. Hi vọng bài viết sẽ giúp bạn nắm vững những công thức nguyên hàm này một cách hiệu quả và áp dụng chúng để giải bài tập nhanh chóng.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu bạn có nhu cầu học trực tuyến nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc bạn đạt điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục