Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

1. Hàm số liên tục là gì?

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nào đó nếu hàm số đó liên tục tại mọi điểm trong khoảng đó. Để giải thích rõ hơn, ta có định nghĩa như sau:

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng K, trong đó $x_{0}$ thuộc K. Khi đó, ta nói rằng y = f(x) liên tục tại điểm $x_{0}$ nếu $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Bạn đang xem: Hàm Số Liên Tục Và Các Dạng Bài Tập Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

Đồ thị của hàm số liên tục có dạng như sau:

2. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) được xác định trên đoạn (a;b) và $x_{0}$ thuộc (a;b). Hàm số y được gọi là liên tục tại điểm $x_{0}$ nếu $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$.

Ngược lại, nếu hàm số $f(x_{0})$ không liên tục tại điểm $x_{0}$ thì $x_{0}$ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x).

Nâng cao hơn, nếu có hai hàm số y = f(x) và y = g(x) cùng liên tục tại điểm $x_{0}$. Khi đó:

• $y=f(x) + g(x), y = f(x) – g(x)$ và $y=f(x) . g(x)$ sẽ liên tục tại điểm $x_{0}$.

• $y=frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tục tại $x_{0}$ khi $g(x_{0}) neq 0$.

3. Hàm số liên tục trên một khoảng

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên một khoảng (a;b) thì hàm số f(x) sẽ liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b). Đồ thị hàm số liên tục trên khoảng (a;b) được biểu diễn bằng một đường cong liên tục, không bị gián đoạn.

Các hàm số căn thức, phân thức và hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Ngoài ra, nếu đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và thỏa mãn $underset{xrightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a), underset{xrightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$ thì đồ thị y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

4. Hàm số liên tục trên R

Hàm số liên tục trên R là một trường hợp đặc biệt của hàm số liên tục trên một khoảng.

Với một số hàm số đa thức, chúng sẽ liên tục trên tập R mà không cần chứng minh, bao gồm: hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, hàm đa thức, hàm phân thức có tập xác định R và hàm mũ.

Tham khảo ngay tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập độc quyền của VUIHOC ngay

5. Một số định lý cơ bản về hàm số liên tục

Để áp dụng giải các bài tập liên quan đến hàm số liên tục, ngoài định nghĩa các loại hàm số liên tục, học sinh cần nắm vững 3 định lý cơ bản sau:

Định lý 1:

• Hàm số đa thức là loại hàm số liên tục trên tập R.

• Hàm số thương của hai đa thức (phân thức hữu tỉ) và các hàm số lượng giác đều liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Định lý 2: Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại $x_{0}$. Ta có:

• $y=f(x) + g(x), y=f(x) – g(x)$ và $y=f(x) . g(x)$ sẽ liên tục tại điểm $x_{0}$.

• $y=frac{f(x)}{g(x)}$ là hàm số liên tục tại $x_{0}$ khi $g(x_{0}) neq 0$.

Định lý 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thỏa mãn $f(a) . f(b) < 0$. Tồn tại ít nhất một điểm c thuộc đoạn (a;b) sao cho f(c) = 0.

Định lý này thường được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của phương trình trên một khoảng cụ thể.

Định lý 3 còn có dạng khác như sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và thỏa mãn $f(a) . f(b) < 0$. Phương trình f(x) = 0 sẽ có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).

6. Các dạng bài tập về hàm số liên tục và ví dụ cụ thể

6.1. Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Đây là dạng bài thường gặp trong chuyên đề hàm số liên tục. Để xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính giá trị $f(x_{0})$

Bước 2: Tính giá trị $underset{xrightarrow x_{0}}{lim} f(x)$ hoặc $underset{xrightarrow x_{0}^{+}}{lim} f(x)$, $underset{xrightarrow x_{0}^{-}}{lim} f(x)$

Bước 3: So sánh hai giá trị $underset{xrightarrow x_{0}}{lim} f(x)$ hoặc $underset{xrightarrow x_{0}^{+}}{lim} f(x)$, $underset{xrightarrow x_{0}^{-}}{lim} f(x)$ với $f(x_{0})$ tính ở bước 1, rồi kết luận.

• Nếu $underset{xrightarrow x_{0}}{lim} f(x)=f(x_{0})$ hoặc $underset{xrightarrow x_{0}^{+}}{lim} f(x)$, $underset{xrightarrow x_{0}^{-}}{lim} f(x)=f(x_{0})$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_{0}$.

• Nếu $underset{xrightarrow x_{0}}{lim} f(x)$ không tồn tại hoặc $underset{xrightarrow x_{0}}{lim} f(x) neq 0$ thì hàm số f(x) không liên tục tại điểm $x_{0}$.

Bước 4: Kết luận dựa trên yêu cầu của đề bài.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục tại x = 1 của hàm số sau:

$left{begin{matrix} frac{2 – 7x + 5x^{2}}{x^{2} – 3x +2} & text{khi } x neq 1 -3 & text{khi } x = 1 end{matrix}right.$

Giải:

Hàm số đề bài xác định trên R{2} có x = 1 và f(1) = -3

Tính giới hạn của hàm số tại x = 1:

Xem thêm : Top 4 bài văn mẫu: Thuyết minh về cây bàng lớp 9 tuyển chọn hay nhất

$underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=underset{xrightarrow 1}{lim} frac{2 – 7x + 5x^{2}}{x^{2} – 3x + 2}=underset{xrightarrow 1}{lim} frac{(x – 1)(5x – 2)}{(x – 1)(x – 2)}=underset{xrightarrow 1}{lim} frac{5x – 2}{x – 2}=-3$

Ta thấy: $underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)=-3$. Suy ra hàm số đề bài liên tục tại $x_{0}=1$

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 1:

Giải:

Hàm số đề bài cho xác định tại x = 1 và f(1) = 1

Tính giới hạn trái tại x = 1:

$underset{xrightarrow 1^{-}}{lim}f(x)=underset{xrightarrow 1^{-}}{lim}1=1$

Tính giới hạn phải tại x = 1:

$underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}f(x)=underset{xrightarrow 1^{+}}{lim} frac{2 – 7x +5x^{2}}{x^{2} – 3x + 2}=underset{xrightarrow 1^{+}}{lim} frac{5x – 2}{x – 2}=-3$

Vì $underset{xrightarrow 1^{+}}{lim}f(x) neq underset{xrightarrow 1^{-}}{lim}f(x)$ nên hàm số gián đoạn tại x = 1.

6.2. Dạng 2: Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Đối với dạng bài tập này, học sinh cần sử dụng phối hợp hai định lý 1 và 2 để xét tính liên tục của hàm số trong từng khoảng xác định của nó. Nếu hàm số đã cho xác định, học sinh tiếp tục xét tính liên tục tại các điểm đặc biệt của hàm số đó.

Ví dụ 1: Chứng minh hàm số sau đây liên tục trên khoảng (-7;+)

$f(x)=left{begin{matrix} x^{2} – x + 4, x geq 2 frac{x – 2}{sqrt{x + 7 – 3}}, -7 < x < 2 end{matrix}right.$

Giải:

Ví dụ 2: Tìm giá trị a, b sao cho hàm số sau đây liên tục:

$left{begin{matrix} 1, x < 3 ax + b, 3 leq x leq 5 3, x > 5 end{matrix}right.$

Giải:

6.3. Dạng 3: Tìm điều kiện hàm số liên tục tại 1 điểm

Đây là dạng bài “tìm m” rất phổ biến trong các đề luyện thi và các đề kiểm tra trong chương trình học phổ thông. Phương pháp giải dạng bài này gồm 3 bước:

Bước 1: Tìm điểm $x_{0}$ xác định trong hàm số và tính giá trị f(m) với $m = x_{0}$

Bước 2: Tính giới hạn của hàm số tại $x_{0}$

Bước 3: Hàm số f(x) liên tục tại $x_{0}$ khi và chỉ khi $underset{xrightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Bước 4: Kết luận về giá trị của m.

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục tại điểm x = 1

Giải:

Ta xét hàm số xác định tại x = 1 và $f(x) = -3m . 1 – 1$.

Tính giới hạn của hàm số tại $x_{0} = 1$

$underset{xrightarrow 1}{lim} f(x) = underset{xrightarrow 1}{lim} frac{2 – 7x + 5x^{2}}{x^{2} – 3x + 2} = underset{xrightarrow 1}{lim} frac{(x-1)(5x – 2)}{(x – 1)(x – 2)}=3$

Khi đó, hàm f(x) liên tục tại điểm $x_{0} = 1$ khi và chỉ khi:

$underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) Leftrightarrow -3m -1 Leftrightarrow m=-frac{2}{3}$

Kết luận: $m=frac{-2}{3}$

Ví dụ 2:

Giải:

Ta có $underset{xrightarrow -2^{-}}{lim}f(x)=underset{xrightarrow -2^{+}}{lim}f(-2) Leftrightarrow -2a – 1 = -11 Leftrightarrow a=5$

Vậy giá trị a cần tìm là 5.

6.4. Dạng 4: Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định

Đối với các bài toán tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một đoạn hoặc một tập xác định bất kỳ, học sinh làm tương tự dạng 3. Điểm khác biệt duy nhất là ở dạng 3 ta tìm điểm làm hàm số xác định, còn với dạng này ta tìm khoảng đoạn hoặc tập làm cho hàm số xác định.

Xét bài toán ví dụ sau:

Ví dụ 1: Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Giải:

Tập xác định của hàm số là R

Xét trường hợp $x neq 1$, hàm số có dạng $f(x)=frac{2 – 7x + 5x^{2}}{x-1}$. f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên tập xác định là $(-infty; 1) cup (1; +infty)$ vì vậy f(x) cũng liên tục trên khoảng $(-infty; 1) cup (1; +infty)$

Xét trường hợp x = 1 thì ta có f(1) = -3m – 1:

$underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=underset{xrightarrow 1}{lim} frac{2 – 7x +5x^{2}}{x-1}=underset{xrightarrow 1}{lim} frac{(x-1)(5x – 2)}{x – 1}=3$

Vì vậy, hàm f(x) liên tục tại điểm $x_{0}=1$ khi:

$underset{xrightarrow 1}{lim}f(x)=f(1) Leftrightarrow 3m – 1=3 Leftrightarrow m=-frac{4}{3}$

Kết luận: $m=-frac{4}{3}$

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau đây liên tục trên $[0;+infty)$

$left{begin{matrix} frac{3-sqrt{9-x}}{x}, & 0 < x < 9 m,&x geq 9 end{matrix}right.$

Giải:

6.5. Dạng 5: Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Chúng ta cùng xem các ví dụ sau để hiểu cách sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng phương trình $3x^{3} + 2x – 2 = 0$ có nghiệm trong (0; 1).

Giải:

Hàm số đề bài là hàm số đa thức, nên nó liên tục trên tập R. Do đó, hàm số cũng liên tục trên khoảng [0;1].

Ta có:

f(0) . f(1) = (-2) . (3) = -6 < 0

Do đó, có ít nhất một số c thuộc (0;1) sao cho f(c) = 0. Hay nói cách khác, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng, phương trình $2x^{3} – 6x^{2} + 5 = 0$ trong khoảng (-1;3) có 3 nghiệm phân biệt.

Hàm số đề bài liên tục trên R, do đó f(x) liên tục trên các đoạn [-1;0], [0;2], [2;3].

Ta có: f(-1) = -3, f(0) = 5, f(2) = -3, f(3) = 5. Từ đó:

f(-1) . f(0) < 0

f(0) . f(2) < 0

f(2) . f(3) < 0

Vì vậy, phương trình đề bài có nghiệm trong các khoảng (-1;0), (0;2) và (2;3).

Từ đó ta có thể kết luận phương trình có 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (-1; 3).

6.6. Dạng 6: Sử dụng tính liên tục để xét dấu hàm số

Khi xét dấu của hàm số có thể sử dụng tính liên tục của hàm số, ta cần sử dụng kết quả: “Nếu hàm số y = f(x) là liên tục và không bằng không trên [a;b] thì có dấu nhất định trên (a;b)”.

Xét các ví dụ sau:

Ví dụ: Xét dấu của hàm số sau: $f(x)= sqrt{x+4} – sqrt{1-x} – sqrt{1-2x}$

Giải:

7. Một số bài tập về hàm số liên tục từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải

Để thành thạo các dạng bài tập về hàm số liên tục, học sinh cùng vuihoc.vn giải các bài tập luyện tập sau đây!

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 0

Giải:

Bài 2: Xét tính liên tục trên R của hàm số sau:

Giải:

Bài 3: Chứng minh phương trình $ax^{2} + bx + c = 0$ luôn tồn tại nghiệm trong $[0; frac{1}{3}]$ với mọi $a neq 0$ và thỏa mãn điều kiện $2a + 6b + 19c = 0$

Giải:

Bài 4: Tìm giá trị a để hàm số sau đây liên tục tại x = 2

Giải:

Bài 5: Hàm số f(x) sau đây liên tục trên R khi nào?

Giải:

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục