Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Trước tiên, hãy nhớ lại lý thuyết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Cho tam giác vuông ABC có góc vuông tại A (góc A = 90 độ), chúng ta có các hệ thức sau:

Bạn đang xem: Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. {b^2} = ab’ và {c^2} = a.c’

2. Định lý Pythagoras: {a^2} = {b^2} + {c^2}

3. a.h = b.c

4. {h^2} = b’.c’

5. (1/{h^2}) = (1/{b^2}) + (1/{c^2})

1. Định lý cosin

Định lý cosin: Trong một tam giác bất kỳ, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:

{a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc.cos A (1)

{b^2} = {a^2} + {c^2} – 2ac.cos B (2)

{c^2} = {a^2} + {b^2} – 2ab.cos C (3)

Công thức tương ứng cho cosin của các góc:

cos A = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)

cos B = (a^2 + c^2 – b^2)/(2ac)

Xem thêm : Xác định số điểm cực trị của hàm số bằng CASIO fx 880 BTG

cos C = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab)

Áp dụng: Tính đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi m_a, m_b và m_c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Ta có:

{m_a}^2 = (2*(b^2 + c^2) – a^2)/4

{m_b}^2 = (2*(a^2 + c^2) – b^2)/4

{m_c}^2 = (2*(a^2 + b^2) – c^2)/4

2. Định lý sin

Định lý sin: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cụ thể:

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

với R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác

Diện tích S của tam giác ABC có thể được tính bằng một trong các công thức sau:

S = (1/2)ab*sin C = (1/2)bc*sin A = (1/2)ca*sin B (1)

S = abc/(4R) (2)

S = pr (3)

S = sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)} (công thức Hê – rông) (4)

Trong đó: AB = c, BC = a và CA = b; R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp; S là diện tích tam giác.

Xem thêm : CẤU TRÚC Because – Cấu trúc, cách dùng Because, Because of

3. Cách giải tam giác và ứng dụng trong đo đạc

Giải tam giác: Giải tam giác là quá trình tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố khác của tam giác đó.

Để giải tam giác, chúng ta cần tìm quan hệ giữa các góc, cạnh đã biết và các góc, cạnh chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán liên quan đến giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản trong giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

=> Dùng định lý sin để tính cạnh còn lại.

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.

=> Dùng định lý cosin để tính cạnh thứ ba.

Sau đó, sử dụng hệ quả của định lý cosin để tính góc.

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh.

Đối với bài toán này, chúng ta sử dụng hệ quả của định lý cosin để tính góc:

cos A = (b^2 + c^2 – a^2)/(2bc)

cos B = (a^2 + c^2 – b^2)/(2ac)

Xem thêm : Xác định số điểm cực trị của hàm số bằng CASIO fx 880 BTG

cos C = (a^2 + b^2 – c^2)/(2ab)

Lưu ý:

1. Một tam giác có thể được giải khi biết 3 yếu tố của nó, trong đó ít nhất một yếu tố là độ dài cạnh (tức là không quá 2 yếu tố góc).

2. Giải tam giác được ứng dụng trong các bài toán thực tế, đặc biệt trong việc đo đạc.

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục