Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

1. Lý thuyết tổ hợp ni-ô

1.1. Định lý khai triển tổ hợp ni-ô

Trong chương trình toán giải tích lớp 11 đã học, khai triển tổ hợp ni-ô (ngắn gọn là định lý tổ hợp) là một định lý toán học về việc khai triển hàm mũ của tổng. Định lý khai triển một tổ hợp bậc n thành một đa thức có n+1 số hạng:

$left ( a+b right )^{n}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}=sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

Bạn đang xem: Lý Thuyết Nhị Thức Niu Tơn Kèm Các Dạng Toán Có Đáp Án

Ở đây có $C_{k}^{n}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử ($0leq kleq n$). Ta có định lý, số tổ hợp chập k của n phần tử đã cho như sau:

$C_{k}^{n}=frac{n!}{(n-k)!k!}=frac{(n-1)(n-2)(n-3)…(n-k+1)}{k!}$

1.2. Công thức tổ hợp ni-ô

1.2.1. Định lý

Với $forall ninmathbb{N}^{*}$ với cặp số (a,b) ta có:

1.2.2. Hệ quả

$left (1+xright )^{n}=C_{n}^{0}+xC_{n}^{1}+x^{2}C_{n}^{2}+…+x^{n}C_{n}^{x}$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức ôn thi tốt nghiệp THPT sớm ngay từ bây giờ!!!

2. Các dạng bài toán tổ hợp ni-ô

2.1. Cách tìm hệ số trong khai triển và tìm số hạng trong khai triển

Với dạng bài này, các em hãy sử dụng số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển. Tiếp theo biến đổi để tách riêng phần biến và phần hệ số, sau đó kết hợp đề bài để xác định chỉ số k. Lưu ý số hạng gồm hệ số + phần biến.

2.1.1. Ví dụ tổ hợp ni-ô với cách tìm hệ số trong khai triển

VD1: Hệ số của $x^{31}$ trong khai triển $left ( x+frac{1}{x^{2}} right )^{40}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

$left ( x+frac{1}{x^{2}} right )^{40}=sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{k}left ( frac{1}{x^{2}} right )^{40-k}=sum_{k=0}^{40}C_{40}^{k}x^{3k-80}$

Hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{k}$ với k thỏa mãn điều kiện 3k – 80 = 31 ⇔ k=37

Vậy hệ số của $x^{31}$ là $C_{40}^{37}$ = 9880

VD2: Hệ số của $x^{3}$ trong khai triển tổ hợp ni-ô $left ( x^{2}+frac{2}{x} right )^{12}$ là bao nhiêu?

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển ni-ô ta có:

2.1.2. Ví dụ về cách tìm số hạng trong khai triển

VD1: Tìm số hạng không có x trong khai triển của tổ hợp sau: $left ( x+frac{1}{x} right )^{12}$ với $xneq 0$

Lời giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển $left ( x+frac{1}{x} right )^{12}$ là $C_{12}^{k}x^{12-k}frac{1}{x}^{k}=C_{12}^{k}x^{12-2k}$

Số hạng không có x ứng với k thỏa mãn 12 – 2k = 0 ⇔ k=6

=> số hạng không chứa x là $C_{12}^{6}=924$

VD2: Số hạng không chứa x trong khai triển: $left ( x-frac{2}{sqrt{x}} right )^{n}$ biết $A_{2}^{n}=C_{n}^{n-2}+C_{n}^{n-1}+4n+6$

Lời giải:

VD3: Tìm số hạng chứa $x^{frac{10}{3}}$ trong khai triển của tổ hợp ni-ô của $left ( xsqrt[3]{x}-frac{2}{x^{2}} right )^{10}$

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển ni-ô ta có:

2.2. Rút gọn đẳng thức, chứng minh biểu thức

Phương pháp:

• Nhận xét bài toán từ đó chọn hàm số phù hợp với tổng đẳng thức, bất đẳng thức (thông thường ta hay sử dụng các hàm cơ bản $left ( x+1 right )^{n},left ( 1+x right )^{n},left ( 1-x right )^{n},left ( x-1 right )^{n}$.

• Khai triển tổ hợp vừa tìm được và sử dụng các phép biến đổi đại số, giải tích để có được dạng phù hợp với đề bài.

• Chọn giá trị của x cho phù hợp để có được biểu thức như để bài Thông thưởng ta chọn x là các số 1 hay -1 (cũng có thể $ pm2, pm3$…).

Vậy ta có được tổng hay mệnh đề cần được chứng minh.

2.2.1. Ví dụ về rút gọn đẳng thức

VD1: Tính tổng: $S=C_{3030}^{0}-2C_{3030}^{1}+2^{2}C_{3030}^{2}-2^{3}C_{3030}^{3}+…+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

Lời giải:

Theo công thức tổ hợp ni-ô lớp 11 với a = 1, b= -2 ta được:

$left(1-2right)^{3030}=C_{3030}^{0}1^{3030}-2C_{3030}^{1}1^{3029}+2^{2}C_{3030}^{2}1^{3028}-2^{3}C_{3030}^{3}1^{3027}+…+3^{3030}C_{3030}^{3030}$

VD2: Rút gọn biểu thức sau:

$A= 2.1C_{n}^{2}-3.2C_{n}^{3}+…+n(n-1)(-1)C_{n}^{n}$

Lời giải:

2.2.2. Ví dụ chứng minh biểu thức

VD1: Chứng minh rằng: $C_{2001}^{0}+3^{2}C_{2001}^{2}+…+3^{2000}C_{2001}^{2000}=2^{2000}(2^{2001}-1)$

Lời giải:

$left ( 1+x right )^{n}=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}x+C_{n}^{2}x^{2}+…+C_{n}^{n}x^{n}$

Cho n = 2001 và x = 3 ta được:

$4^{2021}=C_{2021}^{0}+3C_{2021}^{1}+…+3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (1)

Cho n = 2001 và x = -3 ta được:

$-2^{2021}=C_{2021}^{0}-3C_{2021}^{1}+…-3^{2021}C_{2021}^{2021}$ (2)

(1) + (2) vế theo vế ta được:

Xem thêm : Văn mẫu lớp 8: Thuyết minh về cây bút chì (Dàn ý + 8 mẫu) Thuyết minh bút chì ngắn gọn

$frac{1}{2}left ( 4^{2021}-2^{2021}right )=2^{2000}left ( 2^{2021}-1 right )=C_{2021}^{0}+3^{2}C_{2021}^{2}+…+3^{2000}C_{2021}^{2000}$

Điều phải chứng minh

VD2: Chứng minh rằng:

$C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+…=C_{n}^{1}+C_{n}^{3}+C_{n}^{5}+…=2^{n-1}$

Lời giải:

2.3. Giải phương trình, bất phương trình chỉnh hợp tổ hợp

Đối với dạng bài này, các em sử dụng các công thức tính số hoán vị, tổ hợp chỉnh hợp để biến đổi phương trình sau đó kiểm tra điều kiện của nghiệm và kết luận.

VD1: Tìm n biết $C_{n}^{1}+C_{n}^{2}=15$

Lời giải:

Điều kiện $ngeq 2$

• $C_{n}^{1}=frac{n!}{1!(n-1)!}=frac{n}{1!}=n$
• $C_{n}^{2}=frac{n!}{2!(n-2)!}=frac{n(n-1)}{2!}=frac{n^{2}-n}{2}$

Giả thiết tương đương với:

$n+frac{n(n-1)}{2}=15Leftrightarrow n^{2}+n-30=0Leftrightarrow n=5$ hoặc $n=-6$ (loại)

VD2: Cho khai triển $left ( 1+2x right )^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+…+a_{n}x^{n}$. Tìm số nguyên dương n biết $a_{0}+8a_{1}=2a_{2}=1$.

Lời giải:

Áp dụng công thức khai triển ni-ô ta có:

VD3: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: $C_{2n}^{0}+C_{2n}^{2}+…+C_{2n}^{2n}=2^{2015}$

Lời giải:

Đặt:

Nhận ngay bí kíp

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập của hệ thống tổ hợp ni-ô trong chương trình Toán 11. Để đạt được kết quả cao các em nên làm thêm nhiều dạng bài khác nữa. Hy vọng với bài viết này, các em học sinh có thể giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao thật thaành thục. Để học và ôn tập nhiều hơn những phần kiến thức lớp 12 phục vụ ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, các em truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

Bài viết tham khảo thêm:

Hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp

Quy tắc đếm

Phép thử và biến cố

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục