Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Véc tơ trong không gian

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Véc tơ trong không gian

Bạn đang xem: Lý thuyết Vectơ trong không gian (mới 2023 + Bài Tập) – Toán 11

A. Lý thuyết.

I. Định nghĩa và các phép toán về véc tơ trong không gian.

Cho đoạn thẳng AB trong không gian. Nếu ta chọn điểm đầu là A, điểm cuối là B ta có một véc tơ, được kí hiệu là AB→.

1. Định nghĩa.

– Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu AB→ chỉ véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B. Véc tơ còn được kí hiệu là a→; b→; x→; y→….

– Các khái niệm liên quan đến véc tơ như giá của véc tơ, độ dài của véc tơ, sự cùng phương, cùng hướng của véc tơ, véc tơ – không, sự bằng nhau của hai véc tơ … được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng.

2. Phép cộng và phép trừ véc tơ trong không gian

– Phép cộng và phép trừ của hai véc tơ trong không gian được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng.

– Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng. Khi thực hiện phép cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành như đối với véc tơ trong hình học phẳng.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh DA→ + BC→  =  BA→  +  DC→

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: DA→ = DC→ + CA→

Ta có:

DA→ + BC→ = DC→ + CA→  +  BC→ =  DC→ + BC→ + CA→ =  DC→  +  BA→

(điều phải chứng minh).

II. Điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.

1. Khái niệm về sự đồng phẳng của ba véc tơ trong không gian.

Trong không gian cho ba véc tơ a→, b→, c→ ≠ 0→. Nếu từ một điểm O bất kì ta vẽ: OA→ = a→, OB→ = b→, OC→=c→ thì có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC không cùng nằm trong một mặt phẳng, khi đó ta nói rằng ba véc tơ a→, b→, c→ không đồng phẳng.

+ Trường hợp các đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói rằng ba véc tơ a→, b→, c→ đồng phẳng.

Trong trường hợp này, giá của các véc tơ a→, b→, c→ luôn luôn song song với một mặt phẳng.

– Chú ý. Việc xác định sự đồng phẳng hoặc không đồng phẳng của ba véc tơ nói trên không phụ thuộc vào việc chọn điểm O.

2. Định nghĩa:

Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi I là tâm hình bình hành ABEF và K là tâm hình bình hành BCGF. Chứng minh BD→,IK→,GF→ đồng phẳng.

Lời giải:

Xét tam giác FAC có I ; K lần lượt là trung điểm của AF và FC nên IK là đường trung bình của tam giác.

⇒ IK// AC nên IK// mp ( ABCD) .

Vì BC// GF nên GF // mp( ABCD)

Ta có : IK//(ABCD)GF//(ABCD)BD⊂(ABCD)  

⇒BD→,IK→,GF→ đồng phẳng.

3. Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng.

– Định lí 1.

Trong không gian cho hai véc tơ a→, b→ không cùng phương và véc tơ c→. Khi đó, ba véc tơ a→, b→, c→ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c→  =  ma→+ n  b→. Ngoài ra, cặp số m, n là suy nhất.

– Định lí 2.

Trong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng a→, b→, c→. Khi đó, với mọi véc tơ ta đều tìm được một bộ ba số m, n, p sao cho x→  = ma→+n  b→+p  c→. Ngoài ra, bộ ba số m, n, p là duy nhất.

Xem thêm : Các tháng bằng tiếng Anh: Tổng hợp về cách sử dụng và cách nhớ hiệu quả

Ví dụ 3. Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’ gọi M là trung điểm của BB. Đặt CA→  = a→, CB→ = b→, A​A’→= c→. Phân tích véc tơ AM→ theo a→, b→, c→.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc 3 điểm và quy tắc hiệu hai véc tơ ta có :

AM→=AB→+BM→=CB→−CA→+12BB’→ (vì M là trung điểm của BB’) .

=b→−a→+12AA’→=b→−a→+12c→

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA→= a→, SB→= b→, SC→= c→, SD→= d→. Chứng minh: a→+c→=d→+b→

Lời giải:

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta có:

SA→+SC→=2SO→SB→+SD→=2SO→ (do tính chất của đường trung tuyến)

⇒SA→+SC→=SB→+SD→⇔a→+c→=d→+b→

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt AB→= x→, AC→= y→, AD→ = z→. Phân tích véc tơ theo các véc tơ x→, y→, z→

Lời giải:

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có :

AG→=AB→+BG→=AB→+23BM→=AB→+23AM→−AB→=AB→+2312AC→+AD→−AB→=13AB→+AC→+AD→=13x→+y→+z→
AM→=12AC→+AD→
( do M là trung điểm của CD))

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và BCC’B’. Chứng minh:

a) IK→=12AC→=12A’C’→.

b) Bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) BD→+2IK→=2BC→.

d) Ba véc tơ BD→;IK→;B’C’→ đồng phẳng.

Lời giải:

a) Do tính chất đường trung bình trong tam giác A’BC’ và tính chất của hình bình hành ACC’A’ nên ta có: IK→=12AC→=12A’C’→

b) Do IK là đường trung bình của tam giác AB’C’ nên IK// AC

Suy ra, bốn điểm I; K; C; A đồng phẳng.

c) Ta có:

BD→+2IK→=BC→+CD→+AC→=BC→+CD→+AD→+DC→=BC→+AD→=BC→+BC→=2BC→

d) Vì giá của ba véc tơ BD→, IK→, B’C’→ đều song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD). Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các véc tơ, ba véc tơ trên đồng phẳng.

Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Véc tơ trong không gian

Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một đường thẳng ∆ cắt các đường thẳng AA’,BC,C’D’ lần lượt tại M,N,P sao cho NM→=2NP→. Tính MAMA’.

A. MAMA’=1

B. MAMA’=2

C. MAMA’=2

D. MAMA’=3

Câu 2: Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏ tứ diện SABC. Gọi I là giao điểm của ba mặt phẳng BCM, CAN, ABP và J là giao điểm của ba mặt phẳng ANP, BPM, CMN.

Ta được S, I, J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

A. MSMA+NSNB+PSPC+12=JSJI

B. MSMA+NSNB+PSPC+14=JSJI

C. MSMA+NSNB+PSPC+13=JSJI

D. MSMA+NSNB+PSPC+1=JSJI

Xem thêm : Lý thuyết Toán 12: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN∥BD’. Tính tỉ số MNBD’ bằng?

A. 13

B. 12

C. 1

D. 23

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho

AM→=13AB→,BN→=23BC→,

AQ→=12AD→,DP→=kDC→.

Hãy xác định k để M, N, P, Q đồng phẳng.

A. k=12

B. k=13

C. k=14

D. k=15

Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: OI→=12OA→+OB→.

B. Vì AB→+BC→+CD→+DA→=0→ nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.

C. Vì NM→+NP→=0→ nên N là trung điểm đoạn NP.

D. Từ hệ thức AB→=2AC→−8AD→ ta suy ra ba véc tơ AB→, AC→, AD→ đồng phẳng.

Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

A. Ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng khi và chỉ khi ba véctơ đó có giá thuộc một mặt phẳng

B. Ba tia Ox,Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi một thì ba tia đó không đồng phẳng.

C. Cho hai véctơ không cùng phương a⇀ và b⇀. Khi đó ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho c⇀=ma⇀+nb⇀, ngoài ra cặp số m,n là duy nhất.

D. Nếu có ma⇀+nb⇀+pc⇀=0⇀ và một trong ba số m,n,p khác 0 thì ba véctơ a⇀,b⇀,c⇀ đồng phẳng.

Câu 7: Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm đoạn MN và P là 1 điểm bất kỳ trong không gian. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức véc tơ: IA→+(2k−1)IB→+kIC→+ID→=0→

A. k=2

B. k=4

C. k=1

D. k=0

Câu 8: Cho ba véc tơ a→, b→, c→. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu a→, b→, c→ không đồng phẳng thì từ ma→+nb→+pc→=0→ ta suy ra m=n=p=0

B. Nếu có ma→+nb→+pc→=0→, trong đó m2+n2+p2>0 thì a→, b→, c→ đồng phẳng.

C. Với ba số thực m, n, p thỏa mãn m+n+p≠0 ta có ma→+nb→+pc→=0→ thì a→, b→, c→ đồng phẳng.

D. Nếu giá của a→, b→, c→ đồng qui thì a→, b→, c→ đồng phẳng.

Câu 9: Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’. Đặt AA’→=a→,AB→=b→,AC→=c→, BC→=d→. Trong các biểu thức véctơ sau đây, biểu thức nào đúng.

A. a→=b→+c→

B. a→+b→+c→+d→=0→

C. b→−c→+d→=0

D. a→+b→+c→=d→

Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 11 đầy đủ, chi tiết khác:

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết Khoảng cách

Lý thuyết Ôn tập chương 5

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục