Lý Thuyết Số Phức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập Cơ Bản

Số phức thường gây khó khăn cho học sinh trong chương trình đại số lớp 12. Vậy số phức là gì? Có những dạng bài tập nào và làm thế nào để giải chúng hiệu quả? Hãy đọc bài viết này để được tổng hợp đầy đủ kiến thức và cách giải các bài tập số phức để đạt điểm tối đa trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới nhé!

1. Số phức là gì?

Số phức là số được biểu diễn dưới dạng a + bi, trong đó a và b là số thực và $i^{2} = -1$. Số a được gọi là phần thực, số b được gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo. Nếu phần thực bằng 0, số phức được gọi là số thuần ảo; nếu phần ảo bằng 0, số phức trở thành số thực.

Bạn đang xem: Lý Thuyết Số Phức Và Cách Giải Các Dạng Bài Tập Cơ Bản

2. Ứng dụng của số phức

Số phức có nhiều ứng dụng trong hình học, lượng giác và các môn học khác cũng như trong đời sống. Trong hình học và lượng giác, số phức được sử dụng để giải các bài tập và xử lý các công thức phức tạp một cách dễ dàng. Ngoài ra, số phức cũng được ứng dụng trong việc phân tích đa thức, tính toán trong tích phân và nhiều lĩnh vực khác.

Dưới đây là một số dạng bài tập toán điển hình:

Trong các môn học và trong đời sống, số phức cũng có nhiều ứng dụng, đặc biệt trong vật lý. Vật lý liên quan rất nhiều đến hình học và các đại lượng hướng, và để mô tả những hướng này, chúng ta không thể không dùng đến số phức. Số phức cũng được sử dụng trong mô tả quá trình biến đổi của vật chất theo thời gian, đặc biệt trong phần nguyên tử và khái niệm hàm sóng. Sử dụng số phức trong vật lý sẽ giúp chúng ta biểu diễn thuận lợi và chính xác hơn so với việc sử dụng số thực.

Để nắm vững kiến thức về số phức và áp dụng vào giải các bài tập, hãy tham khảo bộ tài liệu tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập trong đề thi Toán THPT Quốc gia.

3. Tổng hợp các khái niệm liên quan đến số phức

Để áp dụng kiến thức về số phức và giải các bài tập, ta cần nắm vững các khái niệm sau:

3.1. Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của một số phức Z có dạng: $overline{Z} = a + bi$, với a và b là số thực.

Có một số tính chất của số phức liên hợp:

1. $Z times overline{Z} = a^{2} + b^{2}$ là một số thực

2. $Z + overline{Z} = 2a$ là một số thực

3. $overline{Z + Z’} = overline{Z} + overline{Z’}$

4. $overline{Z times Z’} = overline{Z} times overline{Z’}$

3.2. Số phức nghịch đảo

Số phức nghịch đảo của số phức Z (kí hiệu là $Z^{-1}$) là số phức sao cho tích của số phức nghịch đảo và số phức Z là bằng 1.

Công thức để tính số phức nghịch đảo là $Z^{-1} = frac{1}Z overline{Z} = frac{1}{a^{2}+b^{2}} (a-bi)$

Với $|Z|$ là môđun của số phức Z.

3.3. Số phức thuần ảo

Số phức thuần ảo là số phức có phần thực bằng 0, tức là Z = bi, với b là số thực. Khi đó, Z được gọi là số thuần ảo.

3.4. Modun của số phức

Modun của số phức Z = a + bi là độ dài của vectơ (a, b) biểu diễn số phức đó. Modun của Z cũng có thể được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương của a và b.

Ví dụ: |3 + 4i| = 5

Modun của số phức Z cũng có thể được gọi là trị tuyệt đối của số phức Z.

Với $Z = a + bi$ ($a, b in R$), ta có $|Z| = sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Modun của số phức Z cũng có những tính chất sau:

$|z_{1}z_{2}| = |z_{1}|.|z_{2}|$

Xem thêm : Văn mẫu lớp 9: Nghị luận xã hội về tình trạng nghiện game online 5 Dàn ý & 30 bài văn nghị luận xã hội lớp 9

$| |z_{1}| | leq |z_{1}| + |z_{2}|$

$frac{z_{1}}{z_{2}} = frac{z_{1}overline{z_{2}}}{|z_{2}|^{2}}$

Trên mặt phẳng, số phức Z = a + bi ($a, b in R$) có thể được biểu diễn bởi một điểm M(a, b), và modun của Z được biểu diễn bởi độ dài của đoạn thẳng OM.

3.5. Độ lớn của số phức

Độ lớn của số phức Z có dạng Z = $r(cosvarphi +isinvarphi )$. Để chuyển số phức Z = a + bi sang dạng lượng giác, ta cần tìm môđun và argument của số phức. Chúng ta có công thức cộng biểu thức two phức, vì vậy ta có:

$(x+y)^{2}$ = a + bi

$Rightarrow x^{2}-y^{2} + 2xyi$ = a + bi

$Rightarrow x^{2}-y^{2} = a$, 2xy = b (*).

Vì vậy, để chuyển từ số phức sang dạng lượng giác, ta giải hệ phương trình (*) đã nêu trên.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình z + mz + i = 0 có hai nghiệm $z_{1}$,$z_{2}$ thỏa mãn đẳng thức

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} – (z_{1}z_{2})^{2} – 2z_{1}z_{2}$ = -4i.

Giải:

Áp dụng công thức Vi-ét cho phương trình bậc 2, ta có:

$z_{1} + z_{2}$ = -m, $z_{1}z_{2}$= i

Từ bài ra, ta có

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$ = -4i.

$Rightarrow (z_{1}z_{2})^{2} – 2z_{1}z_{2}$ = -4i

$Rightarrow m^{2}$ = -2i

Để giải căn bậc hai của một số phức, ta giải hệ phương trình:

$m = a + bi$, với a và b là số thực.

Có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

4. Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b là số nguyên) có thể được biểu diễn bởi một điểm M(a, b) hoặc vectơ u = (a, b) trên mặt phẳng O_xy.

5. Hướng dẫn giải các dạng bài tập số phức cơ bản

5.1. Bài tập dạng tìm số phức w = iz + z

Ví dụ: Tìm số thực x, y sao cho đẳng thức sau đúng:

$5x+y+5xi=2y-1+ (x-y)i$

Giải:

Xem thêm : Khối đa diện lồi và khối đa diện đều – Giải bài tập SGK Toán 12

Chúng ta có thể xem mỗi vế là một số phức, để hai số phức bằng nhau, phần thực phải bằng nhau và phần ảo phải bằng nhau:

⇒ 5x + y = 2y -1; 5x = x – y ⇒ x = 1/7; y = 4/7

5.2. Tìm số phức dạng e mũ

Một số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của z nếu w² = z.

$(x+y)^{2}$= a + bi

$Rightarrow x^{2}-y^{2} + 2xyi$ = a + bi

$Rightarrow x^{2}-y^{2} = a$, 2xy = b (*).

Vậy để tìm căn bậc hai của một số phức, ta giải hệ phương trình (*) đã nêu trên.

Ví dụ: Tìm giá trị của m để phương trình sau z + mz + i = 0 có hai nghiệm $z_{1}$,$z_{2}$ thỏa mãn đẳng thức

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} – (z_{1}z_{2})^{2} – 2z_{1}z_{2}$= -4i.

Giải:

Áp dụng công thức Vi-ét cho phương trình bậc 2, ta có:

$z_{1} + z_{2}$ = -m, $z_{1}z_{2}$= i

Từ bài ra, ta có:

$z_{1}^{2} + z_{2}^{2}$= -4i.

$Rightarrow (z_{1}z_{2})^{2} – 2z_{1}z_{2}$= -4i

$Rightarrow m^{2}$= -2i

Ta giải hệ phương trình (*) đã nêu trên:

m = a + bi, suy ra chúng ta có hệ:

$a^{2}+b^{2}$= 0; 2ab = -2i

$Rightarrow (a,b)$= (1,-1) hoặc (a,b)= (-1,1)

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề bài.

5.3. Bài tập số phức dạng lượng giác

Để chuyển số phức z = a + bi sang dạng lượng giác z = $r(cosvarphi +isinvarphi )$, ta cần tìm môđun và argument của số phức. Bằng cách đồng nhất hai biểu thức số phức, ta có:

>> Xem thêm: Tổng hợp các dạng phương trình lượng giác thường gặp

5.4. Phương trình bậc 4 số phức

Sau bài viết này, hi vọng bạn đã nắm chắc kiến thức và cách giải các bài tập về số phức. Để có thêm kiến thức hay, bạn có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ với trung tâm hỗ trợ để được hỗ trợ tốt nhất trong quá trình học và chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới!

>> Xem thêm: Tổng ôn tập số phức – full lý thuyết và bài tập

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục