Xét tính đơn điệu của hàm số: Lý thuyết & bài tập (Kèm tài liệu)

Phân tích tính đơn điệu của hàm số (tính tăng giảm) là một trong những tính chất quan trọng của hàm số. Đọc các định nghĩa, định lý về tính đơn điệu của hàm số trong bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về cách khảo sát hàm số, thuộc chương trình toán lớp 12. Kiến thức này rất quan trọng trong các kỳ thi trên trường cũng như ôn thi THPT quốc gia.

Lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số

Thông thường để xác định tính đơn điệu của hàm số, chúng ta hay tính đạo hàm của nó. Nếu đạo hàm dương trên một khoảng nào đó thì hàm số tăng trên khoảng đó, ngược lại nếu đạo hàm âm trên một khoảng nào đó thì hàm số giảm trên khoảng đó. Kiến thức này dựa vào các điểm lý thuyết sau:

Bạn đang xem: Xét tính đơn điệu của hàm số: Lý thuyết & bài tập (Kèm tài liệu)

1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến

Hàm số y = f(x) được xem là đồng biến trên khoảng K nếu mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂).

Hàm số y = f(x) được xem là nghịch biến trên khoảng K nếu mọi x₁, x₂ ∈ K, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂).

2. Định lý về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

a) Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f’(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) > 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a;b]. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x) < 0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a;b].

3. Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f’(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

4. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

• Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.
• Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xᵢ (i = 1, 2, …,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
• Bước 3: Sắp xếp các điểm xᵢ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
• Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Phân dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số là một chủ đề rộng. Trong chủ đề này, các đề thi có thể khai thác được những câu hỏi mức vận dụng về tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số bất kỳ và cũng có thể khai thác được các câu hỏi khó về biện luận m thỏa mãn điều kiện cho trước. Dưới đây, chúng ta cùng tìm hiểu 7 dạng bài toán phổ biến nhất trong chuyên đề này. Nhưng trước hết bạn cần phải hiểu bản chất về tính đồng biến nghịch biến của hàm số.

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số bất kỳ

Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x)

+) f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đó.

+) f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đó.

Quy tắc:

+) Tính f’(x), giải phương trình f’(x) = 0 tìm nghiệm.

+) Lập bảng xét dấu f’(x).

+) Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x³ – 3x² + 2

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

c. y = x³ + 2x

Hướng dẫn giải:

a. y = x³ – 3x² + 2.

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

Ta có: y’ = 3x² – 6x, cho y’ = 0 ⇒ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0, x = 2

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

– Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞).

– Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2)

Chú ý: Không được kết luận: “Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0) ∪ (2;+∞)”

b. y = -x³ + 3x² -3x + 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

Ta có: y’ = -3x² + 6x – 3, cho y’ = 0 ⇒ -3x² + 6x – 3 = 0 ⇔ x = 1 (nghiệm kép)

⇒ y’ ≤ 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định R

c. y = x³ + 2x

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 3x² + 2, cho y’ = 0 ⇒ 3x² + 2 = 0 (vô nghiệm)

⇒ y’ > 0, ∀ x ∊ R ⇒ hàm số luôn đồng biến trên tập xác định R

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau:

a. y = x⁴ – 2x² + 1

b. y = -x⁴ + x² – 2

c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1

Hướng dẫn giải:

a. y = x⁴ – 2x² + 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = 4x³ – 4x = 4x (x² – 1), cho y’ = 0 ⇒ 4x (x² – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = 1

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

• Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞)
• Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1)

b. y = -x⁴ + x² – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

Xem thêm : Văn mẫu lớp 11: Phân tích bài thơ Tự tình 2 của Hồ Xuân Hương Sơ đồ tư duy, Dàn ý & 17 bài phân tích Tự tình

y’ = -4x³ + 2x = 2x (-2x² + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ 2x (-2x² + 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra:

– Hàm số đồng biến trên các khoảng:

– Hàm số nghịch biến trên các khoảng:

c. y= ¼ x⁴ + 2x² – 1

Hàm số xác định với mọi x ∊ R

y’ = x³ + 4x = x (x² + 4), cho y’ = 0 ⇒ x (x² + 4) = 0 ⇔ x = 0 (do x² + 4 vô nghiệm)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; 0).

Dạng 2. Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

Phương pháp giải

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f(x), ta chỉ cần nhìn các khoảng mà đồ thị “đi lên” hoặc “đi xuống”.

• Khoảng đồ thị “đi lên”: hàm đồng biến;
• Khoảng đồ thị “đi xuống”: hàm nghịch biến.

» Nếu đề bài cho đồ thị y = f’(x). Ta tiến hành lập bảng biến thiên của hàm y = f(x) theo các bước:

• Tìm nghiệm của f’(x) = 0 (hoành độ giao điểm với trục hoành);
• Xét dấu f’(x) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Ox mang dấu âm);
• Lập bảng biến thiên của y = f(x), suy ra kết quả tương ứng.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (-∞;0)

C. (1;+∞)

D. (0;1)

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (-∞;-1)

Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải

Tính

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ > 0 ⇔ ad − cb > 0.

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y’ < 0 ⇔ ad − cb < 0.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-6)

A. 2

B. 6

C. Vô số

D. 1

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = (-∞;-3m) ∪ (-3m; +∞)

Ta có

Hàm số đổng biến trên khoảng

Do m nguyên nên m ∊ {1; 2}

Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (6;+∞)

A. 0

B. 6

C. 3

D. Vô số

Lời giải

Chọn C

Tập xác định D = ℝ{-3m};

Hàm số nghịch biến trên khoảng (6;+∞) khi và chỉ khi:

Vì m ∊ ℤ ⇒ m ∊ {-2; -1; 0}

Dạng 4: Tìm m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên ℝ

Phương pháp giải

Hàm số đồng biến trên ℝ thì hàm số f’(x) ≥ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ hoặc suy biến

Hàm số nghịch biến trên ℝ thì hàm số f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ ℝ ⇔ hoặc suy biến

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Hỏi có bao nhiêu số nguyên m của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)

A. 2

B. Vô số

C. 3

D. 5

Lời giải

Chọn B

Xem thêm : Phân tích bài thơ Tôi yêu em của Puskin

Tập xác định D = ℝ {-5m};

Hàm số nghịch biến trên toàn miền xác định khi f’(x) ≤ 0, ∀ x ∊ D ⇔ -5m < x < 5m ⇔ -∞ < x < 5m

Mà m ∊ ℤ nên || <= 2 tương ứng có 2 giá trị của m

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f’(x) như sau:

Hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (3; 4)

B. (1; 3)

C. (-∞; -3)

D. (4; 5)

Lời giải

Chọn D

Ta có y’ = f’(5 – 2x) = -2f’(5 – 2x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f (5 – 2x) đồng biến trên khoảng (4; 5)

Dạng 7. Biện luận đơn điệu của hàm đa thức trên khoảng con của tập ℝ

Phương pháp giải

» Loại 1: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên toàn miền xác định ℝ

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Đồng biến trên hoặc suy biến

Nghịch biến trên ℝ thì hoặc suy biến

» Loại 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Chúng ta thường gặp hai trường hợp:

– Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “đẹp”: Chúng ta thiết lập bảng xét dấu y’ theo các nghiệm vừa tìm (xét hết các khả năng nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

– Nếu phương trình y’ = 0 có nghiệm “xấu”: Chúng ta sử dụng một trong hai cách sau

• Cách 1. Dùng định lý về so sánh nghiệm (sẽ nói rõ hơn qua bài giải cụ thể).
• Cách 2. Cô lập tham số m, dùng đồ thị (cách này xét sau).

» Loại 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên khoảng con của tập ℝ

Giải phương trình y’ = 0, tìm nghiệm.

Biện luận các trường hợp nghiệm (nghiệm trùng, nghiệm phân biệt). Từ đó “ép” khoảng mà dấu y’ không thỏa mãn ra khỏi khoảng đề bài yêu cầu.

Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)

B. (-∞;0)

C. (1;+∞)

D. (0;1)

Lời giải

Chọn D

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0;1) và (-∞;-1)

Tài liệu tính đơn điệu của hàm số file PDF

Bộ tài liệu hay nhất về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bao gồm: Lý thuyết, ví dụ và các bài tập vận dụng được tuyển chọn. Bạn nên xem kĩ tài liệu nào hay trước khi tải về và sử dụng để giúp quá trình học tập đạt được hiệu quả cao nhất.

#1. Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

Thông tin tài liệu

Tác giả: Thầy Phùng Hoàng Em

Số trang: 17

Lời giải chi tiết: Không

Mục lục tài liệu:

– Dạng 1: Ứng dụng đạo hàm tìm khoảng đơn điệu của một hàm số cho trước

– Dạng 2: Đọc khoảng đơn điệu của hàm số bằng hình ảnh đồ thị cho trước

– Dạng 3: Tìm m để hàm số đơn điệu trên R

– Dạng 4: Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 5: Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 6: Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước

– Dạng 7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u) khi biết đồ thị hàm số f’(x)

– Dạng 8: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f(u)+g(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x)

#2. Các dạng toán thường gặp THPTQG về tính đơn điệu của hàm số

Thông tin tài liệu

Tác giả: Thầy Nguyễn Bảo Vương

Số trang: 59

Lời giải chi tiết: Có

Mục lục tài liệu:

– Dạng 1. Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số

– Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước

– Dạng 3. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó

– Dạng 4. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục