Khối Đa Diện Là Gì? Tính Chất, Các Loại Khối Đa Diện Và Ví Dụ

1. Hình đa diện là gì?

Hình đa diện là hình học được tạo thành bởi các đa giác phẳng thỏa mãn các tính chất sau:

• Hai đa giác khác nhau chỉ có thể không có điểm chung, hoặc chỉ có một cạnh chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung. Nghĩa là, hình mà hai đa giác không thuộc các trường hợp trên hoặc có nhiều hơn một trường hợp trong các trường hợp trên đều không phải là hình đa diện.

  Bạn đang xem: Khối Đa Diện Là Gì? Tính Chất, Các Loại Khối Đa Diện Và Ví Dụ

Ví dụ:

Hình trên không phải là hình đa diện vì hình tam giác và hình chữ nhật không thỏa mãn điều kiện “không có điểm chung”. Cụ thể, hai đa giác này có một điểm chung nhưng điểm đó không phải là đỉnh chung.

• Mỗi cạnh của mọi đa giác đều là cạnh chung của chính xác hai đa giác.

Hình trên không phải là hình đa diện vì có một cạnh màu đỏ là cạnh chung của bốn mặt.

Một số hình đa diện quen thuộc trong học sinh đã biết từ lớp 11 như: hình tứ diện, hình lăng trụ, hình chóp, hình hộp, hình lập phương, hình chóp cụt,…

2. Lý thuyết về khối đa diện

2.1. Khối đa diện là gì?

Học sinh đã được biết đến các khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp,… Đó chính là các khối đa diện. Vậy, định nghĩa chung của khối đa diện là gì?

Khối đa diện được xác định là không gian trong của mỗi hình đa diện. Nghĩa là, mỗi hình đa diện sẽ tạo thành một khối đa diện tương ứng.

2.2. Đặc điểm, tính chất của khối đa diện

Một số đặc điểm và tính chất của khối đa diện mà học sinh cần nhớ khi làm các bài tập về khối đa diện như sau:

Tính chất 1: Với một khối tứ diện đều, ta có:

+ Đỉnh của khối tứ diện đều khác với trọng tâm của các mặt.

+ Trung điểm của mọi cạnh là các đỉnh của khối bát diện đều.

Tính chất 2: Với khối lập phương, tâm các mặt sẽ tạo thành một khối bát diện đều.

Tính chất 3: Với khối bát diện đều, tâm các mặt sẽ tạo thành một khối lập phương.

Tính chất 4: Hai đỉnh của một khối bát diện đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối bát diện đều. Khi đó:

+ Ba đường chéo giao nhau tại vị trí trung điểm của mỗi đường.

+ Ba đường chéo vuông góc với nhau theo từng đôi một.

+ Ba đường chéo bằng nhau.

Tính chất 5: Một khối đa diện phải có ít nhất 4 mặt.

Tính chất 6: Một hình đa diện có ít nhất 6 cạnh.

Tính chất 7: Không tồn tại đa diện có 7 cạnh.

2.3. Ví dụ về các khối đa diện

Một số khối đa diện thường gặp:

3. Khối đa diện lồi là gì?

Khối đa diện lồi là khối đa diện được xác định bằng cách nối đoạn thẳng hai điểm bất kỳ thuộc khối đa diện. Nếu đoạn thẳng đó nằm hoàn toàn trong khối đa diện thì đó là đa diện lồi.

Ví dụ như khối lăng trụ, khối chóp là những đa diện lồi:

Ngược lại, hình dưới đây không phải là đa diện lồi vì đoạn MN không nằm trong khối đa diện:

Nắm vững kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian với bộ tài liệu riêng từ VUIHOC ngay bây giờ

4. Lý thuyết về khối đa diện đều

4.1. Định nghĩa

Xem thêm : Bài tập Thì hiện tại đơn có đáp án

Khối đa diện đều là một trường hợp đặc biệt của các khối đa diện lồi. Để xác định một khối đa diện đều, cần thoả mãn hai điều kiện sau:

• Mỗi mặt của khối đa diện là đa giác đều có p cạnh.

• Mỗi đỉnh của khối đa diện là đỉnh chung của q mặt.

Vậy, ta có thể gọi khối đa diện đều loại {p;q}.

4.2. Có bao nhiêu khối đa diện đều?

Có 5 khối đa diện đều đã được chứng minh và có các đặc điểm như bảng sau:

5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Khi phân chia và lắp ghép các khối đa diện, học sinh cần chú ý đến các điểm nằm bên ngoài và bên trong của khối đa diện.

• Những điểm không nằm bên trong khối đa diện được gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm không nằm trong khối đa diện được gọi là miền ngoài.

• Những điểm nằm bên trong khối đa diện nhưng không nằm trên mặt bên ngoài của khối đa diện được gọi là điểm bên trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm bên trong khối đa diện tạo thành miền bên trong của khối đa diện.

Một khối đa diện (H) được hình thành từ hai khối đa diện (H1) và (H2) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

• (H1) và (H2) không có điểm bên trong chung, khi đó ta nói đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2).

• Có thể lắp ghép hai khối (H1) và (H2) để tạo thành khối (H).

Ví dụ 1: Phân chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta được hai khối đa diện mới là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Từ mặt phẳng (BDD’B’), ta có thể chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, ta dùng mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) để chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy tổng cộng có sáu khối tứ diện bằng nhau được tạo thành từ khối lập phương ban đầu.

6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào là hình đa diện?

Giải:

Hình đa diện là hình học tạo thành bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn đầy đủ hai tính chất sau:

• Hai đa giác khác nhau hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

• Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Vậy, hình 2, 3, 4 đều không thỏa mãn tính chất 2. Do đó, ta chọn A là đáp án đúng.

Bài 2: Cho khối chóp S.ABC. Đáy ABC là một tam giác vuông cân tại đỉnh B, AC =√2a, SA tạo thành góc 90 độ với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải:

Bài 3: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AA’ = 2a, AD = 2a. Tính thể tích của khối A’.ACD’

Xem thêm : Văn mẫu lớp 12: Đoạn văn nghị luận về lòng khoan dung (Dàn ý + 15 mẫu) Viết đoạn văn về lòng khoan dung

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có kích thước AB = a; AC = 2a và ∠BAC = 120º, mặt phẳng (A’BC) hợp với đáy tạo thành một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Đăng ký ngay để nhận tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi Toán THPT sớm từ bây giờ

5. Cách phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Khi phân chia và lắp ghép các khối đa diện, học sinh cần chú ý đến các điểm nằm bên ngoài và bên trong của khối đa diện.

• Những điểm không nằm bên trong khối đa diện được gọi là điểm ngoài, tập hợp các điểm không nằm trong khối đa diện được gọi là miền ngoài.

• Những điểm nằm bên trong khối đa diện nhưng không nằm trên mặt bên ngoài của khối đa diện được gọi là điểm bên trong của khối đa diện. Tập hợp các điểm bên trong khối đa diện tạo thành miền bên trong của khối đa diện.

Một khối đa diện (H) được hình thành từ hai khối đa diện (H1) và (H2) nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

• (H1) và (H2) không có điểm bên trong chung nào thì ta nói đa diện (H) phân chia được thành hai khối đa diện (H1) và (H2).

• Có thể ghép hai khối (H1) và (H2) để tạo thành khối (H).

Ví dụ 1: Phân chia lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng mặt phẳng (A’BC), ta được hai khối đa diện mới là A’ABC và A’BCC’B’.

Ví dụ 2: Khối lập phương có thể được phân chia thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Giải:

Bằng mặt phẳng (BDD’B’), ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ ABD.A’B’D’ và lăng trụ BCD.B’C’D’.

+ Với khối ABD.A’B’D’, lần lượt dùng các mặt phẳng ( AB’D) và (AB’D’) chia làm ba khối tứ diện bằng nhau.

+ Tương tự với khối BCD.B’C’D’ cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.

Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau được hình thành từ khối lập phương ban đầu.

6. Một số bài tập về các khối đa diện và phương pháp giải

Bài 1: Xét các hình sau, hình nào không phải là hình đa diện?

Giải:

Hình đa diện là hình học được tạo thành bởi hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất sau:

• Hai đa giác khác nhau hoặc không có điểm chung hoặc chỉ có một cạnh chung hoặc chỉ có một đỉnh chung.

• Mọi cạnh của đa giác đều là cạnh chung của chính xác hai đa giác.

Từ đó, ta thấy hình 4 không thoả mãn tính chất 2 (hai đa giác có một điểm chung – nhưng điểm đó không phải là đỉnh)

Vậy, hình D không phải là hình đa diện.

Hình đa diện thường xuất hiện với tần suất khá cao trong bài thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Trong video dưới đây, thầy Tài sẽ giải 20 câu được trích từ các đề thi và đề thi thử. Các em hãy chú ý theo dõi video học cùng thầy nhé!

Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các bài tập điển hình về khối đa diện. Để nắm vững hơn về khối đa diện và các kiến thức hình học THPT nói chung, học sinh nên truy cập trang web giáo dục Vuihoc.vn để nắm được nhiều kiến thức hữu ích hơn nữa!

Bài viết tham khảo thêm:

Khối đa diện đều và khối đa diện lồi

Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục