Tích Phân Hàm Ẩn: Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

1. Tích phân hàm ẩn là gì?

Trong chương trình toán lớp 12, chúng ta sẽ làm quen với dạng bài tập về tích phân hàm ẩn. Tích phân hàm ẩn là gì? Hãy cùng tìm hiểu về khái niệm này.

Tích phân hàm ẩn là dạng tích phân mà hàm số được ẩn đi. Hàm số không được biểu diễn dưới dạng công thức. Tích phân hàm ẩn được suy ra từ tính chất nguyên hàm của hàm số:

Bạn đang xem: Tích Phân Hàm Ẩn: Lý Thuyết Và Bài Tập Vận Dụng Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao

∫f'(x)dx – f(x) + C

Trong công thức trên, chúng ta chưa biết hệ số tự do C, chỉ biết f'(x) (hàm số ẩn trong f'(x)) nhưng biết một vài giá trị của f(x). Bài toán yêu cầu ta tính một vài giá trị cần thiết của f(x).

Để giải các bài toán tích phân hàm ẩn, chúng ta có thể áp dụng hai cách sau:

• Nếu hàm số đã cho có tích phân trên đoạn [a;b], ta sử dụng công thức tính giá trị.

• Sử dụng các tính chất và định nghĩa của nguyên hàm để xác định f(x) + C. Sau đó, để xác định hệ số tự do C, ta sử dụng các giá trị đã biết của f(x). Tiếp theo, ta tính các giá trị cần tìm.

2. Các dạng tích phân hàm ẩn cơ bản và ví dụ

Dưới đây là một số dạng tích phân hàm ẩn thông thường gặp trong quá trình giải bài tập và các ví dụ minh họa.

2.1. Dạng 1: Áp dụng các quy tắc và đạo hàm của hàm số hợp

1. Nếu u = u(x) và v = v(x), ta có (uv)’ = u’v + uv’

Nếu f(x) . g(x)’ = h(x), ta có f(x) . g(x) ∫ h(x)dx

2. Nếu u = u(x) và v = v(x), ta có (u/v)’ = (u’v – uv’)/v², với v ≠ 0

Nếu (f(x)/g(x))’ = h(x), ta có f(x)/g(x) = ∫ h(x)dx

3. Nếu u = u(x), ta có (sqrt(u))’ = u’/(2u), với u > 0

Nếu (sqrt(f(x)))’ = h(x), ta có f(x) = ∫ h(x) dx

4. Nếu u = u(x), ta có (e^u)’ = u’ . e^u

Nếu (e^f(x))’ = g(x), ta có e^f(x) = ∫ g(x) dx

5. Nếu u = u(x) nhận giá trị dương trên đoạn K, ta có [ln(u)]’ = u’/u trên K.

Nếu [ln(f(x))]’ = g(x), ta có ln(f(x)) = ∫ g(x) dx

Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (0, +∞). Điều kiện thỏa mãn là x(4-f’(x)) = f(x)-1, ∀x > 0. Tính f(2).

Giải:

Từ giả thiết, ta có x(4 – f’(x)) = f(x) – 1 ↔ xf’(x) + f(x) = 4x + 1

Do đó: f(2) = 5

Ví dụ 2: Hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên (-1, +∞). Hàm số thỏa mãn là 2f(x) + (x² – 1)f’(x) = (x³ + 2x² + x)/sqrt{x³+3}, ∀x ∊ (-1, +∞). Tính f(0).

Giải:

Do đó: f(0) = 2 – sqrt{3}

2.2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến dạng 1: Cho ∫_a^_b u’(x) . f[u(x)]dx. Tính ∫_a^_b f(x)dx.

Hoặc cho hàm ∫_a^_b f(x)dx. Tính ∫_a^_b u’(x) . f[u(x)]dx.

Phương pháp đổi biến dạng 2: Tính ∫_a^_b f(x)dx, biết hàm số f(x) thỏa mãn A . f(x) + B . u’ . f(u) + C . f(a + b – x) – g(x)

Phương pháp đổi biến dạng 3: Đặt t = u(x) và t = v(x) để giải hệ phương trình hai ẩn sau đó suy ra hàm số f(x)

Phương pháp đổi biến dạng 4: Cho f(x) . f(a + b – x) = k². Khi đó ∫_a^_b dx/(k+f(x)) = (b – a)/(2k)

Phương pháp đổi biến dạng 5: Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn g[f(x)]=x và g(t) là hàm đơn điệu. Tính tích phân ∫_a^_b f(x)dx

Ví dụ 1: Tính ∫₀^₂ f(2x)dx. Biết ∫₀^₄ f(x)dx = 16

Giải:

Xét tích phân ∫₀^₂ f(2x)dx. Đặt 2x = t ↔ dx = 1/2 dt. Khi x = 0 thì t = 0, khi x = 2 thì t = 4

Do đó: ∫₀^₂ f(2x)dx = ∫₀^₄ f(x)dx/2 = 8

Xem thêm :

Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [1, 16]. Hàm số thỏa mãn ∫₁^₁₆ f(sqrt{x})/sqrt{x}dx = 6 và ∫₀^_π/2 f(sin x)cos x dx = 3. Tính ∫₀^₄ f(x)dx

Giải:

Xét I = ∫₁^₁₆ f(sqrt{x})/sqrt{x}dx = 6, đặt sqrt{x} = t ↔ dx = 2sqrt{x}dt

Do đổi cận: x = 1 ↔ t = 1, x = 16 ↔ t = 4 nên I = 2∫₁^₄ f(t)dt = 6 ↔ ∫₁^₄ f(t)dt – 3 = 0

J = ∫₀^_π/2 f(sin x)cos x dx = 3, đặt sin x = u ↔ cos x dx = du

Do đổi cận: x = 0 ↔ u = 0, x = π/2 ↔ J = ∫₀^₁ f(u)du = 3

I = ∫₀^₄ f(x)dx = ∫₀^₁ f(x)dx + ∫₁^₄ f(x)dx = 3 + 3 = 6

2.3. Dạng 3: Phương pháp từng phần

Phương pháp tích phân từng phần với hàm ẩn thường áp dụng cho những bài toán mà trong giả thiết hoặc kết luận có một trong các tích phân sau: ∫_a^_b

u(x) . f’(x)dx hoặc ∫_a^_bu’(x) . f(x)dx

Ví dụ 1: Hàm số f(x) thỏa mãn ∫₀^₁(x+1)f’(x)dx = 10. Và có 2f(1) – f(0) = 2. Vậy I = ∫₀^₁f(x)dx bằng bao nhiêu?

Giải:

A = ∫₀^₁(x+1)f’(x)dx. Đặt u = x + 1 ↔ du = dx, dv = f’(x), chọn v = f(x)

A = (x + 1) . f(x)|₀¹ – ∫₀^₁f(x)dx = 2f(1) – f(0) – ∫₀^₁f(x)dx = 2 – ∫₀^₁f(x)dx = 10 ↔ ∫₀^₁f(x)dx = -8

2.4. Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x)+p(x).f(x)=h(x)

Ví dụ 1: Tính giá trị của f(1) biết hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 4 và f(x) + f’(x) = x³, ∀x ∊ R

Giải:

Từ giả thiết, ta có:

e^x.f(x) + e^x.f’(x) = x³e^x ↔ [e^x.f(x)]’ = x³e^x ↔ e^x.f(x) = ∫x³e^xdx

∴ ∫x³e^xdx = x³e^x – 3∫x²e^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6∫xe^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6(x – 1)e^x + C

f(0) = 4 ↔ C = 10 ↔ f(x) = x³ – 3x² + 6x – 6 + 10/e^x ↔ f(1) = -2 + 10/e

3. Một số bài tập vận dụng tính tích phân hàm ẩn từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải

Bài tập tích phân hàm ẩn đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức để áp dụng vào giải các bài tập. Dưới đây là một số bài tập vận dụng tích phân hàm ẩn kèm theo lời giải để hiểu một cách rõ ràng.

Bài 1: Hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -2/9 và f’(x) = 2x[f(x)]², ∀x ∊ R. Tính f(1).

Giải:

f’(x) = 2x[f(x)]² ↔ f’(x)/[f(x)]² = 2x ↔ ∫₁^₂ f’(x)/[f(x)]² dx = ∫₁^₂2x dx ↔ -1/f(x)|₁² = 3

∴ f(1) = -2/3

Bài 2: Hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -1/3 và f’(x) = x[f(x)]², ∀x ∊ R. Tính f(1)

Giải:

f’(x) = x[f(x)]² ↔ f’(x)/[f(x)]² = x ↔ ∫₁^₂ f’(x)/[f(x)]² dx = ∫₁^₂2x dx ↔ -1/f(x)|₁² = 3 ↔ f(1) = -2/3

Bài 3: ∫₂^₅ f(x)dx = 10. Tính ∫₅^₂[2 – 4f(x)]dx

Giải:

∫₅^₂[2 – 4f(x)] dx = 2∫₅^₂ dx – 4∫₅^₂ f(x) dx = -2x|₂⁵ + 4∫₂^₅ f(x) dx = -2(5 – 2) + 4 . 10 = 34

Bài 4: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 1. f’(x) = 1/(x – 1), f(2) = 2018, f(0) = 2017. Tính f(3) – f(-1)

Giải:

Có: f’(-x) = 1/(-x – 1) = 1/(x – 1) = -f(x), nên f’(x) là hàm số lẻ

∫_-2^₂ f’(x) dx = 0 ↔ ∫_-2^_-1 f’(x) dx = -∫₁^₂ f’(x) dx

f(-1) – f(-2) = -f(2) + f(1) ↔ f(-1) – f(2) = f(-2) + f(1) = a + b

Xem thêm : Lý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Và Bài Tập Vận Dụng

Bài 6: Cho hàm số G(x) = ∫₀^_x t.cos(x-t) dt. Tính G’(π/2)

Giải:

2.3. Dạng 3: Phương pháp từng phần

Phương pháp tích phân từng phần thường được áp dụng cho bài toán có trong giả thiết hoặc kết quả là một trong hai tích phân sau: u(x) . f’(x)dx hoặc u’(x) . f(x)dx

Ví dụ 1: Hàm số f(x) thỏa mãn ∫₀^₁ (x+1)f’(x)dx = 10. Và có 2f(1) – f(0) = 2. Tính ∫₀^₁ f(x)dx

Giải:

A = ∫₀^₁ (x+1)f’(x)dx. Đặt u = x + 1 ↔ du = dx, dv = f’(x), chọn v = f(x)

A = (x + 1) . f(x)|₀¹ – ∫₀^₁ f(x)dx = 2f(1) – f(0) – ∫₀^₁ f(x)dx = 2 – ∫₀^₁ f(x)dx = 10 ↔ ∫₀^₁ f(x)dx = -8

2.4. Dạng 4: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

Bài toán tích phân liên quan đến biểu thức f’(x)+p(x).f(x)=h(x)

Ví dụ 1: Tính giá trị của f(1) biết hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 4 và f(x) + f’(x) = x³, ∀x ∊ R

Giải:

Từ giả thiết, ta có:

e^x.f(x) + e^x.f’(x) = x³e^x ↔ [e^x.f(x)]’ = x³e^x ↔ e^x.f(x) = ∫x³e^xdx

∴ ∫x³e^xdx = x³e^x – 3∫x²e^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6∫xe^xdx = x³e^x – 3x²e^x + 6(x – 1)e^x + C

f(0) = 4 ↔ C = 10 ↔ f(x) = x³ – 3x² + 6x – 6 + 10/e^x ↔ f(1) = -2 + 10/e

3. Một số bài tập vận dụng tính tích phân hàm ẩn từ cơ bản đến nâng cao và phương pháp giải

Bài tập tích phân hàm ẩn đa dạng từ cơ bản đến nâng cao, yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức để áp dụng vào giải các bài tập. Dưới đây là một số bài tập vận dụng tích phân hàm ẩn kèm theo lời giải để hiểu một cách rõ ràng.

Bài 1: Hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -2/9 và f’(x) = 2x[f(x)]², ∀x ∊ R. Tính f(1).

Giải:

f’(x) = 2x[f(x)]² ↔ f’(x)/[f(x)]² = 2x ↔ ∫₁^₂ f’(x)/[f(x)]² dx = ∫₁^₂2x dx ↔ -1/f(x)|₁² = 3

∴ f(1) = -2/3

Bài 2: Hàm số f(x) thỏa mãn f(2) = -1/3 và f’(x) = x[f(x)]², ∀x ∊ R. Tính f(1)

Giải:

f’(x) = x[f(x)]² ↔ f’(x)/[f(x)]² = x ↔ ∫₁^₂ f’(x)/[f(x)]² dx = ∫₁^₂2x dx ↔ -1/f(x)|₁² = 3 ↔ f(1) = -2/3

Bài 3: ∫₂^₅ f(x)dx = 10. Tính ∫₅^₂[2 – 4f(x)]dx

Giải:

∫₅^₂[2 – 4f(x)] dx = 2∫₅^₂ dx – 4∫₅^₂ f(x) dx = -2x|₂⁵ + 4∫₂^₅ f(x) dx = -2(5 – 2) + 4 . 10 = 34

Bài 4: Cho hàm số f(x) xác định trên R ngoại trừ 1. f’(x) = 1/(x – 1), f(2) = 2018, f(0) = 2017. Tính f(3) – f(-1)

Giải:

Có: f’(-x) = 1/(-x – 1) = 1/(x – 1) = -f(x), nên f’(x) là hàm số lẻ

∫_-2^₂ f’(x) dx = 0 ↔ ∫_-2^_-1 f’(x) dx = -∫₁^₂ f’(x) dx

f(-1) – f(-2) = -f(2) + f(1) ↔ f(-1) – f(2) = f(-2) + f(1) = a + b

Xem thêm : Lý Thuyết Hai Đường Thẳng Vuông Góc Và Bài Tập Vận Dụng

Bài 6: Cho hàm số G(x) = ∫₀^_x t.cos(x-t) dt. Tính G’(π/2)

Giải:

Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản và tổng hợp đầy đủ các dạng bài tập về tích phân hàm ẩn. Hy vọng rằng sau bài viết này các em học sinh đã có thể áp dụng công thức để giải các bài tập một cách dễ dàng. Để học và ôn tập kiến thức toán lớp 12 ôn thi đại học, hãy truy cập Vuihoc.vn và đăng ký khóa học ngay từ hôm nay nhé!

>> XEM THÊM:

• Cách tính tích phân hàm lượng giác chi tiết và bài tập
• Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
• Công thức và cách tìm nguyên hàm của hàm số mũ, hàm số logarit

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục