Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Để tối giản biểu thức chứa căn thức bậc hai, chúng ta cần áp dụng linh hoạt và phù hợp các kiến thức cơ bản sau:

• Căn thức bậc hai và cách sử dụng hằng đẳng thức
• Cách khai phương một tích, khai phương một thương
• Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai: đưa thừa số ra ngoài (hoặc vào trong) dấu căn, trục căn thức ở mẫu, quy đồng mẫu thức

Nếu bạn chưa nắm được thì có thể xem lại và trong bài viết dưới đây sẽ nhắc lại một cách tóm tắt.

Bạn đang xem: Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Cách tối giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải:

#1. Sử dụng hằng đẳng thức √A²=|A|

#2. Áp dụng các công thức khai phương của một tích hoặc khai phương của một thương

#3. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai

4. Trục căn thức ở mẫu

Các ví dụ về Tối giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Tối giản biểu thức có chứa căn thức bậc hai sau:

Giải:

Để tối giản biểu thức có chứa căn thức bậc hai ở trên, ta cần nhớ cách khai phương một tích, ta làm như sau:

Chứng minh đẳng thức:

Giải:

Để chứng minh đẳng thức trên, ta cần tối giản vế trái về dạng bằng vế phải.

Biến đổi vế trái, ta có:

Như vậy, ta chẳng vội trục căn thức ở mẫu, mà nhận thấy xuất hiện hằng đẳng thức đáng nhớ vì thế ta viết ra khai triển và tối giản cho mẫu thức.

Cho biểu thức:

a) Tối giản biểu thức chứa căn bậc hai P.

b) Tìm giá trị của a để P<0.

Giải:

a) Trước tiên ta quy đồng từng ngoặc.

Vậy ta đã tối giản xong P.

b) Do a > 0 và a khác 1 nên P < 0 khi và chỉ khi

Như vậy, với a > 1 thì P < 0.

Sau đây, ta cùng làm một số bài tập trong sách giáo khoa Toán 9:

Bài tập SGK: Tối giản biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Bài 58:

Tối giản các biểu thức sau:

____________________________

Bài 59:

Tối giản các biểu thức sau (với a > 0, b > 0):

Như vậy, muốn tối giản biểu thức chứa căn, ta chỉ cần áp dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

____________________________

Bài 60:

Cho biểu thức

a) Tối giản biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Giải:

a) Để tối giản biểu thức B, ta đưa thừa số ra ngoài căn để xuất hiện nhân tử chung:

b) Ta cho B = 16 và tìm x, kiểm tra điều kiện xác định và kết luận giá trị của x nếu thỏa mãn.

Vậy khi x = 15 thì B có giá trị là 16.

____________________________

Bài 61:

Chứng minh các đẳng thức sau:

____________________________

Bài 63.

Tối giản biểu thức:

____________________________

Bài tập liên quan đến Tối giản biểu thức chứa căn

Các bài toán liên quan đến bài toán tối giản biểu thức chứa căn bậc hai thường là:

1) Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; (Tính giá trị A khi x = …)

2) Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức (Tìm x)

3) Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên ( Tìm x thuộc Z để biểu thức A có giá trị thuộc Z)

4) Tìm giá trị thực của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên (Tìm x thuộc R để biểu thức A có giá trị thuộc Z)

5) So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác

6) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

7) Giải và biện luận nghiệm phương trình

Xem thêm : Văn mẫu lớp 7: Cảm nghĩ về tình bạn (27 mẫu) Cảm nghĩ về tình bạn lớp 7

Xem thêm: Tổng hợp các bài Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Sau đây là các bài tập mẫu theo các dạng chúng ta đã nói ở trên. Bạn đọc đề và tự làm, sau đó kiểm tra lại đáp án bên dưới.

Bài 1. (Dạng Tối giản biểu thức chứa căn)

Tối giản các biểu thức sau

Giải:

Chú ý: Nếu trong trường hợp đề bài không cho khoảng xác định của x thì khi phá dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xem xét hai trường hợp như ở bài c, d phía trên (đối với bên trong dấu giá trị tuyệt đối là x mũ lẻ)

Bài 2. (Dạng Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến)

Cho biểu thức

với x≥ 0 và x ≠9.

a) Tối giản biểu thức N.

b) Tính giá trị của N trong các trường hợp:

(Sách Củng cố và ôn luyện Toán 9)

Hướng dẫn giải:

a) Trước khi ta thực hiện tối giản biểu thức N, bạn cần xem kĩ các mẫu thức là gì, có mẫu thức chung là gì?

Ví dụ như ở bài này, biểu thức N có các mẫu thức x − 9, √x + 3, √x − 3.

Ta sẽ hiểu ngay là chọn mẫu thức chung là x − 9 vì x − 9 = (√x + 3)(√x − 3) (Hằng đẳng thức đáng nhớ).

Sau khi chọn mẫu thức chung, ta thực hiện quy đồng các phân thức.

b)

Muốn tính giá trị biểu thức N khi x = 9/4, ta trực tiếp thay x = 9/4 vào biểu thức vừa tối giản xong rồi tính ra kết quả.

Trước tiên, ta tối giản x. Biểu thức dưới căn có dạng của bình phương của một tổng và bình phương một hiệu.

Bây giờ bạn thay x = 4 vào biểu thức đã tối giản ở câu a, tính ra kết quả N = 4/5.

______________________________

Bài 3. (Dạng Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến)

Cho biểu thức

với x ≥ 0.

a) Tối giản biểu thức N.

b) Tìm x sao cho N = 8/9.

c) Tìm x sao cho

Hướng dẫn giải:

a) Tương tự bài trên, để tối giản biểu thức N, ta cũng xem kĩ các mẫu thức để chọn ra mẫu thức chung và quy đồng các phân thức.

Ta có:

x√x + 1 = (√x)³ + 1 = (√x + 1)(x – √x + 1) (Hằng đẳng thức đáng nhớ)

b)

c)

__________________________

Bài 4. (Dạng tìm x thỏa mãn điều kiện của biểu thức)

Cho biểu thức:

a) Tìm tập xác định của A.

b) Tối giản biểu thức A.

c) Tính giá trị của A tại x = 1.

d) Tìm giá trị của x khi A = 1/3

e) Tìm giá trị của x khi A < 0

Giải:

a) Để tìm tập xác định của biểu thức, ta cần xem có những căn thức nào, mẫu thức là gì.

Đối với căn thức ta sẽ cho biểu thức dưới căn không âm, còn mẫu thức khác 0 thì ta sẽ tìm được tập xác định của biểu thức A.

Ta nhìn biểu thức dưới căn là hằng đẳng thức:

9x² − 6x+1 = (3x − 1)² ≥ 0 ∀x nên ta không cần tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới căn.

Mẫu thức là 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1) phải khác 0. Ta giải:

(3x − 1)(3x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1/3 và x ≠ -1/3.

Xem thêm : Get rid of là gì? Cấu trúc, cách dùng Get rid of trong tiếng Anh

Vậy tập xác định của biểu thức A là D = R{±1/3}.

b) Tiếp theo, ta sẽ tối giản biểu thức A.

c) Với x = 1 > 1/3, ta thay x = 1 vào biểu thức

d) Để A = 1/3, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu

Trường hợp 2: Nếu

e) Ta có:

Bài 5. (Dạng tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên)

Cho biểu thức:

a) Tối giản A

b) Tìm x nguyên để

có giá trị nguyên.

Giải:

a)

b) Trước tiên ta tối giản biểu thức như sau:

Bài 6. (Dạng So sánh biểu thức với một số)

Cho các biểu thức

a) Tối giản A và B.

b) Đặt P = A/B. Hãy so sánh P với 1.

Giải:

a) Sau khi tối giản ta được

b) Đầu tiên ta tính P = A/B như sau:

Bài 7. (Dạng Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức)

Cho các biểu thức:

a) Tối giản B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1/B.

Giải:

a) Sau rút gọn, ta thu được:

b) Ta tính 1/B.

Bài 8. (Dạng giải và biện luận nghiệm phương trình)

Cho biểu thức:

a) Tối giản B

b) Tìm m để phương trình B = m có nghiệm x >9.

Giải:

a) Sau tối giản, ta được

b)

Để xét dấu biểu thức này, ta có thể lập bảng xét dấu như sau:

1.Tìm các giá trị của m để m – 1 = 0, 4 – 2m = 0, ta thu được m = 1 và m = 2.

2. Đặt giá trị của m vừa tìm được theo thứ tự từ bé đến lớn (trái sang phải)

3. Gióng vị trí giá trị m = 1 và m – 1 ghi 0, gióng giá trị m = 2 và 4 – 2m ghi 0.

4. Dòng 1: Bên phải số 0 sẽ cùng dấu với m trong m – 1 tức là dấu +, bên trái số 0 sẽ trái dấu với m trong m – 1 tức là dấu âm.

Dòng 2: Dấu của m trong 4-2m là âm, nên bên phải số 0 là dấu – và bên trái số 0 là dấu +

5. Xét dấu của thương: +/- = -; +/+ = +; -/+ = -. Vậy khoảng cần tìm là 1 < m < 2.

Trên đây, chúng ta đã vừa học cách tối giản biểu thức chứa căn và cách giải các dạng bài liên quan đến bài tối giản biểu thức chứa căn. Đây là những dạng bài có trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán nên các bạn cần ôn luyện cẩn thận.

Bước tối giản là quan trọng nhất vì nếu sai bước này dẫn tới sai cả những câu sau. Vì thế, khi tối giản ta đặc biệt cẩn thận làm từng bước.

Chúc các bạn học tốt!

Nếu có nhu cầu học Toán 9 online với giáo viên, xin liên hệ E-mail: [email protected] để biết thêm chi tiết.

Th.s Toán học

Nguyễn Thùy Dung

Về chuyên mục Toán 9

Tổng hợp các bài ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Xem thêm:

• Hệ thức Vi-ét là gì? Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
• Toán 9 – Đồ thị hàm số bậc nhất
• Toán 9 – Hàm số bậc nhất
• Toán 9 – Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông cơ bản (có lời giải) Dạng 1
• Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
• Căn bậc ba là gì? Cách tìm căn bậc ba của một số
• [Toán 9] Cách tính thể tích hình trụ
• [Toán 9] Cách tính diện tích xung quanh hình trụ
• Đường tròn – Full lí thuyết về Đường tròn (Chương II – Toán hình 9)
• Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Xem thêm Bài tập Tối giản biểu thức có đáp án

Nguồn: https://toibiet.net
Danh mục: Giáo Dục